Neumannpolynom

Inom matematiken är Neumannpolynomen, introducerade av Carl Gottfried Neumann för the specialfallet $\alpha =0$, är en serie polynom i 1/z som används för att expandera funktioner i serier av Besselfunktioner.

De första Neumannpolynomen är

$O_0^{(\alpha )}(t)=\frac{1}{t}$

$O_1^{(\alpha )}(t)=2\frac{\alpha +1}{t^2}$

$O_2^{(\alpha )}(t)=\frac{2+\alpha }{t}+4\frac{(2+\alpha )(1+\alpha )}{t^3}$

$O_3^{(\alpha )}(t)=2\frac{(1+\alpha )(3+\alpha )}{t^2}+8\frac{(1+\alpha )(2+\alpha )(3+\alpha )}{t^4}$

$O_4^{(\alpha )}(t)=\frac{(1+\alpha )(4+\alpha )}{2t}+4\frac{(1+\alpha )(2+\alpha )(4+\alpha )}{t^3}+16\frac{(1+\alpha )(2+\alpha )(3+\alpha )(4+\alpha )}{t^5}.$

De kan i allmänhet skrivas som

$O_n^{(\alpha )}(t)=\frac{\alpha +n}{2\alpha }\sum _{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor }(-1{)}^{n-k}\frac{(n-k)!}{k!}(\genfrac{}{}{0ex}{}{-\alpha }{n-k}){\left(\frac{2}{t}\right)}^{n+1-2k}.$

Deras genererande funktion är

$\frac{{\left(\frac{z}{2}\right)}^{\alpha }}{\mathrm{\Gamma }(\alpha +1)}\frac{1}{t-z}=\sum _{n=0}{O}_n^{(\alpha )}(t)J_{\alpha +n}(z)$

där J är en Besselfunktion.

Se även

• Besselfunktion
• Lommelpolynom