Partialbråksuppdelning

Partialbråksuppdelning är en metod för att överföra en rationell funktion till en summa av rationella funktioner (partialbråk)

$\frac{r(x)}{h(x)}=\sum _j\frac{r_j(x)}{h_j(x)}$

där $h_j(x)$ är ett irreducibelt polynom och polynomet $r_j(x)$ har lägre gradtal än $h_j(x)$. Partialbråksuppdelning är mycket användbar inom matematisk analys som till exempel vid inverstransformering av rationella laplacetransformer, beräkning av antiderivator och inverstransformering av z-transformer.

Partialbråken kan konstrueras genom att identifiera faktorer i nämnaren enligt tabellen nedan (där alla tal är reella):

Faktor i nämnaren	Lämplig ansats
$x+a$	$\frac{A_1}{x+a}$
$(x+a{)}^n$	$\frac{A_1}{x+a}+\frac{A_2}{(x+a{)}^2}+\dots +\frac{A_n}{(x+a{)}^n}$
$x^2+ax+b$	$\frac{A_{1}x+B_1}{x^2+ax+b}$
$(x^2+ax+b{)}^n$	$\frac{A_{1}x+B_1}{x^2+ax+b}+\frac{A_{2}x+B_2}{(x^2+ax+b{)}^2}+\dots +\frac{A_{n}x+B_n}{(x^2+ax+b{)}^n}$

Bråk med nämnare av andra graden är partialbråk endast om andragradsuttrycken saknar reella nollställen (annars är de faktoriserbara). Koefficienterna $A_k$ och $B_k$ är entydigt bestämda.

Exempel

Partialbråksuppdela

$\frac{2x^2+x-3}{(x+1{)}^2(x+2)}$

Först identifieras faktorer i nämnaren och sedan ansätts partialbråk med hjälp av tabellen ovan:

$\frac{2x^2+x-3}{(x+1{)}^2(x+2)}=\frac{A}{x+1}+\frac{B}{(x+1{)}^2}+\frac{C}{x+2}(1)$

Återstår att bestämma koefficienterna A, B och C, vilket kan ske genom att multiplicera båda leden med vänsterledets nämnare, förkorta uttrycken samt ordna termerna efter gradtal:

$2x^2+x-3=(A+C)x^2+(3A+B+2C)x+(2A+2B+C)$

Efter identifiering av termer i vänster- och högerleden med samma gradtal går det att bilda ett linjärt ekvationssystem

$A+C=2$

$3A+B+2C=1$

$2A+2B+C=-3$

som kan lösas med exempelvis gausselimination:

$A=-1,$

$B=-2,$

$C=3$

Därmed är partialbråksuppdelningen klar då vi har hittat koefficienterna $A,B,C$

$\frac{2x^2+x-3}{(x+1{)}^2(x+2)}=-\frac{1}{x+1}-\frac{2}{(x+1{)}^2}+\frac{3}{x+2}$

Handpåläggning

Istället för att identifiera koefficienter, tilldelas x nollställen till de olika faktorerna i nämnaren. Varje sådan faktor multipliceras med ekvationens båda led. Varje term som har denna faktor i nämnaren får den bortförkortad, övriga termer blir noll. Väljs x = -1 övergår (1) till

$\frac{2x^2+x-3}{(x+2)}=(0)+B+(0)=-2{|}_{x=-1}$

det vill säga, B = -2. Väljs x = -2 övergår (1) till

$\frac{2x^2+x-3}{(x+1{)}^2}=(0)+(0)+C=3{|}_{x=-2}$

det vill säga, C = 3. Men A måste bestämmas på annat sätt (till exempel med gausselimination), eftersom samma procedur skulle ge nolldivision för koefficient B (multipelrot i nämnaren förkortas ej bort).

Namnet handpåläggning kommer från att med en hand hålla för den faktor man formellt multiplicerar med.

Referenser

• Mall:Bokref
• Mall:Bokref