Irreducibelt polynom

Ett irreducibelt polynom är inom matematiken ett icke-konstant polynom som inte kan skrivas som en produkt av två eller fler icke-konstanta polynom. Vilka polynom som är irreducibla beror på vilken polynomring $F[x]$ man studerar.

Irreducibla polynom kan jämföras med primtal inom talteorin. Precis som varje tal unikt kan faktoriseras som en produkt av primtal kan varje polynom i en polynomring $F[x]$ skrivas som en produkt av irreducibla polynom. Faktorerna är unikt bestämda om man bortser från multiplikation med konstanter.

Exempel

Följande fem polynom illustrerar egenskaperna hos reducibla och irreducibla polynom.

$p_1(x)=x^2+4x+4=(x+2)(x+2)$,

$p_2(x)=x^2-4=(x-2)(x+2)$,

$p_3(x)=x^2-4/9=(x-2/3)(x+2/3)$,

$p_4(x)=x^2-2=(x-\sqrt{2})(x+\sqrt{2})$,

$p_5(x)=x^2+1=(x-i)(x+i)$.

Över ringen $\mathbb{Z}$ av heltal är de två första reducibla och de två sista irreducibla. (Det mittersta är inte ett polynom över $\mathbb{Z}$ över huvud taget.)

Över kroppen av rationella tal, $\mathbb{Q}$, är de tre första polynomen reducibla men de två sista irreducibla.

Över kroppen av reella tal, $ℝ$, är alla utom $p_5(x)$ reducibla.

Över kroppen av komplexa tal, $ℂ$, är slutligen alla polynom reducibla.

Även i den ändliga kroppen ${\mathbb{Z}}_2$ är $p_5$ reducibelt, då det gäller att: $p_5(x)=x^2+1=(x+1{)}^2$.

Reella och komplexa tal

Över de komplexa talen är förstagradspolynomen de enda irreducibla polynomen. Över de reella talen finns det också vissa andragradspolynom som är irreducibla, som $p_5(x)$ i exemplet ovan, men inga av högre grad.

Se även

• Algebrans fundamentalsats
• Eisensteins kriterium
• Faktorsatsen