Ext-funktorn

Inom matematiken är Ext-funktorn härledda funktorerna av Hom-funktorn. De användes först inom algebraisk topologi men används numera inom flera andra delområden av matematiken. Namnet "Ext" kommer från dess konnektionen med utvidgningar (på engelska extension) i abelska kategorier.

Definition

Låt R vara en ring och låt Mod_R vara kategorin av moduler över R. Låt B vara i Mod_R och låt T(B) = Hom_R(A,B) för något fixerat A i Mod_R. Det här är en vänster-exakt funktor och har alltså höger-härledda funktorer RⁿT. Ext-funktorn definieras som

${\mathrm{Ext}}_R^n(A,B)=(R^{n}T)(B).$

Den kan räknas genom att välja en godtycklig injektiv resolution

$0\to B\to I^0\to I^1\to \dots ,$

och sedan räkna

$0\to {\mathrm{Hom}}_R(A,I^0)\to {\mathrm{Hom}}_R(A,I^1)\to \dots .$

Då är (RⁿT)(B) homologin av detta komplex. Notera att Hom_R(A,B) utelämnas från komplexet.

Egenskaper

• ExtMall:Su(A, B) = 0 för i > 0 om antingen B är injektiv eller A projektiv.

• Om ExtMall:Su(A, B) = 0 för alla A är ExtMall:Su(A, B) = 0 för alla A och B är injektiv; om ExtMall:Su(A, B) = 0 för alla B är ExtMall:Su(A, B) = 0 för alla B och A är projektiv.

• ${\mathrm{Ext}}_R^n(\underset{\alpha }{⨁}{A}_{\alpha },B)\cong \prod _{\alpha }{\mathrm{Ext}}_R^n(A_{\alpha },B)$

• ${\mathrm{Ext}}_R^n(A,\prod _{\beta }{B}_{\beta })\cong \prod _{\beta }{\mathrm{Ext}}_R^n(A,B_{\beta })$

Exempel

Om Z[G] är heltalsgruppringen av en grupp G, då är ExtMall:Su(Z, M) gruppkohomologin H*(G,M) med koefficienter i M.

Om F_p är ändliga kroppen med p element, då är H*(G,M) = ExtMall:Su(F_p, M), och gruppkohomologin beror inte på vilken basring man valt.

Om A är en k-algebra, då är ExtMall:Su(A, M) Hochschildkohomologin HH*(A,M) med koefficienter i A-bimodulen M.

Om R är den universala enveloppernade algebran för en Liealgebra $𝔤$ over a commutative ring k, then ExtMall:Su(k, M) är Liealgebrakohomologin ${\mathrm{H}}^{*}(𝔤,M)$ med koefficienter i modulen M.

Se även

• Tor-funktorn

Källor

• Mall:Enwp
• Mall:Citation
• Mall:Weibel IHA