Liealgebra

En liealgebra (namngiven efter Sophus Lie) är ett vektorrum tillsammans med en icke-associativ multiplikation kallad lieparentes (på engelska Lie bracket) som skrivs $[x,y]$. När en algebraisk produkt är definierad på vektorrummet, är lieparentesen kommutatorn $[x,y]=xy-yx$.

Liealgebrans största användningsområde är studiet av geometriska objekt såsom liegrupper och differentierbara mångfalder. Begreppet "liealgebra" infördes av Hermann Weyl under 1930-talet. I äldre texter används begreppet infinitesimal grupp.

Definition

En liealgebra är en algebra över en kropp; den är ett vektorrum g över någon kropp K tillsammans med en binär operation [·, ·] : g × g → $𝔤$, som kallas lieparentes, vilken uppfyller villkoren

(1)  Bilinjäritet:

$[ax+by,z]=a[x,z]+b[y,z],[z,ax+by]=a[z,x]+b[z,y]$

för alla a, b $\in$ K och alla x, y, z $\in 𝔤$.

(2)  För alla x $\in 𝔤$ gäller:

$[x,x]=0$

(3)  Jacobi-identiteten:

$[x,[y,z]]+[y,[z,x]]+[z,[x,y]]=0$

för alla x, y, z $\in$ g.

(4)  Antikommutativitet:

Om bilinjäriteten används för att expandera lieparentesen $[x+y,x+y]$ och med användande av villkor (2) går det att visa att $[x,y]+[y,x]=0$ för alla element x, y i $𝔤$, vilket implicerar

$[x,y]=-[y,x]$

En liealgebra med villkor (2) utbytt mot antisymmetri kallas för en kvasiliealgebra.

Observera också att multiplikationen som ges av lieparentesen inte i allmänhet är associativ, det vill säga, $[[x,y],z]$ behöver inte vara lika med $[x,[y,z]]$. Därför är liealgebror inte ringar eller associativa ringar i den vanliga meningen.

Exempel

Ett konkret exempel på en liealgebra är ${ℝ}^3$ med vektorprodukt som parentesoperation. Även algebran av n×n-matriser är en liealgebra med kommutatoroperationen $[A,B]=AB-BA$ som parentesoperation. Mer allmänt gäller att varje associativ algebra blir en liealgebra under kommutatoroperationen.

Se även

• Kvasiliealgebra
• Liealgebrakohomologi
• Liebialgebra
• Liekoalgebra
• Liesuperalgebra
• Ortogonal symmetrisk Liealgebra
• Poissonalgebra

Referenser

Källor

• Erdmann, Karin & Wildon, Mark. Introduction to Lie Algebras, 1st edition, Springer, 2006. Mall:ISBN
• Brian C. Hall Lie Groups, Lie Algebras, and Representations: An Elementary Introduction, 1st edition, Springer, 2006. Mall:ISBN
• Humphreys, James E. Introduction to Lie Algebras and Representation Theory, Second printing, revised. Graduate Texts in Mathematics, 9. Springer-Verlag, New York, 1978. Mall:ISBN
• Jacobson, Nathan, Lie algebras, Republication of the 1962 original. Dover Publications, Inc., New York, 1979. Mall:ISBN
• Kac, Victor G. et. al. Course notes for MIT 18.745: Introduction to Lie Algebras, https://web.archive.org/web/20070131211842/http://www-math.mit.edu/~lesha/745lec/
• Varadarajan, V. S. Lie Groups, Lie Algebras, and Their Representations, 1st edition, Springer, 2004. Mall:ISBN
• Höglund, Joel Lie-algebror, Examensarbete, rapport 2013:16, matematiska institutionen, Uppsala universitet, http://uu.diva-portal.org/smash/get/diva2:630755/FULLTEXT01.pdf