Jacobi-identiteten

Jacobi-identiteten, eller Jacobis identitet, innebär inom matematiken att en bilinjär avbildning $F:V\times V\to V$ på vektorrummet $V$ uppfyller:

$F(F(x,y),z)+F(F(y,z),x)+F(F(z,x),y)=0,\mathrm{\forall }x,y,z\in V$.

Är den bilinjära avbildningen dessutom antisymmetrisk rör det sig om en lieparentes. Viktiga exempel är:

• Kommutatorer för linjära avbildningar: $[a,[b,c]]+[b,[c,a]]+[c,[a,b]]=0.$
• Vektorprodukt: $\mathbf{\text{a}}\times (\mathbf{\text{b}}\times \mathbf{\text{c}})+\mathbf{\text{b}}\times (\mathbf{\text{c}}\times \mathbf{\text{a}})+\mathbf{\text{c}}\times (\mathbf{\text{a}}\times \mathbf{\text{b}})=0$
• Poissonklamrar: $\{f,\{g,h\}\}+\{h,\{f,g\}\}+\{g,\{h,f\}\}=0$

Jacobi-identiteten är uppkallad efter den tyske matematikern Carl Jacobi.

Bevis för vektorprodukt

Beviset fås enkelt ur Lagranges formel:

$\mathbf{\text{a}}\times (\mathbf{\text{b}}\times \mathbf{\text{c}})=\mathbf{\text{b}}(\mathbf{\text{a}}\cdot \mathbf{\text{c}})-\mathbf{\text{c}}(\mathbf{\text{a}}\cdot \mathbf{\text{b}})$

Således:

$\mathbf{\text{a}}\times (\mathbf{\text{b}}\times \mathbf{\text{c}})+\mathbf{\text{b}}\times (\mathbf{\text{c}}\times \mathbf{\text{a}})+\mathbf{\text{c}}\times (\mathbf{\text{a}}\times \mathbf{\text{b}})=$

$=\mathbf{\text{b}}(\mathbf{\text{a}}\cdot \mathbf{\text{c}})-\mathbf{\text{c}}(\mathbf{\text{a}}\cdot \mathbf{\text{b}})+\mathbf{\text{c}}(\mathbf{\text{a}}\cdot \mathbf{\text{b}})-\mathbf{\text{a}}(\mathbf{\text{b}}\cdot \mathbf{\text{c}})+\mathbf{\text{a}}(\mathbf{\text{b}}\cdot \mathbf{\text{c}})-\mathbf{\text{b}}(\mathbf{\text{a}}\cdot \mathbf{\text{c}})=$

$=0$