Algebra över en kropp

En algebra över en kropp är inom matematik en algebraisk struktur, mer specifikt ett vektorrum med en operation som liknar multiplikation.

Definition

En algebra $A$ över en kropp $K$ är ett vektorrum $A$ där det för varje par av element $x,y\in A$ finns en unik produkt $xy\in A$ med egenskaperna:

• $x(y+z)=xy+xz$
• $(x+y)z=xz+yz$
• $\alpha (xy)=(\alpha x)y=x(\alpha y)$

för $x,y,z\in A$ och $\alpha \in K$.

$A$ sägs vara en associativ algebra om

$x(yz)=(xy)z$

och en kommutativ algebra eller abelsk algebra om

$xy=yx$.

$A$ kallas för algebra med neutralt element om det finns ett $e\in A$ så att

$ex=xe=x$.

Om $A$ har ett neutralt element är det unikt. För om man antar att det finns två neutrala element, $e$ och $e^{\prime }$, får man att

• $e{e}^{\prime }=e$ eftersom $e^{\prime }$ är ett neutralt element.
• $e{e}^{\prime }=e^{\prime }$ eftersom $e$ är ett neutralt element.

Alltså är $e=e^{\prime }$.

Normerad algebra

En associativ algebra $A$ kallas för en normerad algebra om den är ett normerat rum som uppfyller

• $\Vert xy\Vert \le \Vert x\Vert \Vert y\Vert$ för alla $x,y\in A$
• $\Vert e\Vert =1$ om $A$ har ett neutralt element $e$.

En normerad algebra kallas för Banachalgebra, uppkallad efter Stefan Banach, om den är fullständig betraktad som ett normerat rum.

Exempel

Tredimensionellt euklidiskt rum

Inre produktrummet ${ℝ}^3$ med kryssprodukten införd är en algebra över kroppen av reella tal.

Matrisrum

Rummet av alla komplexa (eller reella) kvadratiska matriser med $n$ rader är en icke-kommutativ associativ algebra med enhetsmatrisen som neutralt element. Genom att införa en matrisnorm blir algebran en Banachalgebra.

Funktionsrum

Rummet $C[a,b]$ av alla kontinuerliga funktioner på intervallet $[a,b]$ är en Banachalgebra med operationen

$(xy)(t)=x(t)y(t)$ för alla $x(t),y(t)\in C[a,b]$

$C[a,b]$ har det neutrala elementet 1 och normen

$\Vert x\Vert =\underset{t\in [a,b]}{\max }x(t)$.

Referenser

Källor

• Mall:Bokref

Externa länkar

• http://uu.diva-portal.org/smash/get/diva2:310457/FULLTEXT01.pdf