Matrisnorm

Mall:Källor Inom matematik är en matrisnorm en naturlig förlängning av vektorrnormen för matriser.

Egenskaper

En matrisnorm har samma egenskaper som en vektornorm, och följande gäller då för en matrisnorm i rummet $K_{m,n}$, då $K$ är en kropp, till exempel de reella eller komplexa talen. $A$ och $B$ är matriser i $K_{m,n}$:

• $\Vert A\Vert \ge 0$ med likhet om och endast om $A=0$
• $\Vert \alpha A\Vert =|\alpha |\Vert A\Vert$ för alla $\alpha \in K$
• $\Vert A+B\Vert \le \Vert A\Vert +\Vert B\Vert$

För kvadratiska matriser uppfyller vissa, men inte alla, matrisnormer

$\Vert AB\Vert \le \Vert A\Vert \Vert B\Vert$

ett rum av reella eller komplexa kvadratiska matriser med en norm som uppfyller detta bildar en Banachalgebra.

Inducerade normer

Om normer för $K^m$ och $K^n$ är givna (då $K$ är någon kropp, exempelvis de reella eller komplexa talen), kan man definiera en inducerad norm (en så kallad operatornorm) på rummet av alla matriser med format m × n med:

$\Vert A\Vert =\max \{\Vert Ax\Vert :x\in K^n,\Vert x\Vert \le 1\}=\max \{\Vert Ax\Vert :x\in K^n,\Vert x\Vert =1\}=\max \{\frac{\Vert Ax\Vert }{\Vert x\Vert }:x\in K^n,\Vert x\Vert \ne 0\}$

Om vektornormen är en p-norm blir då matrisnormen:

$\Vert A{\Vert }_p=\underset{x\ne 0}{\max }\frac{\Vert Ax{\Vert }_p}{\Vert x{\Vert }_p}$

Om $p=1$ eller $p=\mathrm{\infty }$ kan normen beräknas som:

$\Vert A{\Vert }_1=\underset{1\le j\le n}{\max }\sum _{i=1}^m|a_{ij}|$, dvs den största kolumnsumman (av elementens belopp)

$\Vert A{\Vert }_{\mathrm{\infty }}=\underset{1\le i\le m}{\max }\sum _{j=1}^n|a_{ij}|$, den största radsumman.

Om $p=2$ och $m=n$ kallas den inducerade matrisnormen för spektralnormen och är lika med matrisens största singulärvärde eller den roten ur det största egenvärdet till den positivt definita matrisen $A^{*}A$:

$\Vert A{\Vert }_2=\sqrt{{\lambda }_{max}(A^{*}A)}$,

där $A^{*}$ är det hermiteska konjugatet till $A$.

Elementvisa normer

För matriser i $K_{m,n}$:

Frobeniusnormen

Frobeniusnormen är i princip en förlängning av den vanliga euklidiska normen för vektorer:

$\Vert A{\Vert }_F=\sqrt{\sum _{i=1}^m\sum _{j=1}^n|a_{ij}{|}^2}=\sqrt{\mathrm{tr}(A^{*}A)}$

Där tr är matrisspåret och $A^{*}$ betecknar $A$:s hermiteska konjugat.

P-normen

En generalisering av Frobeniusnormen är p-normen:

$\Vert A{\Vert }_p=(\sum _{i=1}^m\sum _{j=1}^n|a_{ij}{|}^p{)}^{1/p}$

Maximalnormen

Maximalnormen är det till beloppet största talet i matrisen:

$\Vert A{\Vert }_{max}=\max |a_{ij}|$.

Externa länkar

• Mall:Commonscat