Eulerlinjen

Mall:Dubbel bild Eulerlinjen är en rät linje inom den euklidiska plangeometrin som förbinder flera för en triangel signifikanta punkter, speciellt märks (se figur 1):

$H$ ortocentrum (orange)

$N$ niopunktscirkelns mittpunkt (ljusblå)

$G$ triangelns tyngdpunkt (gul)

$O$ den omskrivna cirkelns medelpunkt (violett)

$L$ de Longchampspunkten (röd)

Punkterna $N$, $G$ och $O$ delar sträckan $\overline{HL}$ i fyra delar med proportionerna:

$|\overline{HN}|:|\overline{NG}|:|\overline{GO}|:|\overline{OL}|=3:1:2:6$

Punkterna $H$, $N$, $G$ och $O$ delar Eulerlinjen harmoniskt:

$(H,G;N)=-(H,G;O)$

Värt att notera är att alla de ovanstående punkterna sammanfaller i en liksidig triangel. som därför saknar Eulerlinje. I en rätvinklig triangel går Eulerlinjen genom det rätvinkliga hörnet och hypotenusans mittpunkt. Hos en likbent triangel går Eulerlinjen genom den oliklånga sidans mittpunkt och den mot denna stående olikstora vinkeln.

I ett ortocentriskt system skär Eulerlinjerna till de fyra trianglarna varandra i den gemensamma niopunktscirkelns medelpunkt.

Eulerlinjen är uppkallad efter den schweiziske matematikern Leonhard Euler.

Figur 2.

Bevis

Beteckningar enligt figur 2.

Vi definierar först Eulerlinjen som den räta linje $\overline{HO}$ som går genom ortocentrum $H$ och den omskrivna cirkelns medelpunkt $O$ och därmed ligger dessa båda punkter såklart på linjen, vilket inte behöver visas. Att ortocentrum ligger i skärningspunkten mellan de tre höjderna (orange) genom triangelhörnen till dessas respektive motstående sidor och att den omskrivna cirkelns medelpunkt ligger i skärningspunkten mellan de tre sidornas mittpunktsnormaler (violetta) förutsättes vara bekant.

Triangelns tyngdpunkt

Enligt ovan har vi således att ($\parallel$ betecknar "är parallell med"):

$\overline{A{A}_H}\parallel \overline{O{M}_{BC}}$   ,    $\overline{B{B}_H}\parallel \overline{O{M}_{AC}}$    och    $\overline{C{C}_H}\parallel \overline{O{M}_{AB}}$.

Eftersom $2\cdot |\overline{C{M}_{AC}}|=|\overline{CA}|$ och $2\cdot |\overline{C{M}_{BC}}|=|\overline{CB}|$ gäller:

$\overline{M_{BC}{M}_{AC}}\parallel \overline{BA}$ och $2\cdot |\overline{M_{BC}{M}_{AC}}|=|\overline{BA}|$

Vi avsätter nu mittpunkterna $M_{AH}$ på $\overline{AH}$ och $M_{BH}$ på $\overline{BH}$ varav följer att:

$\overline{M_{BH}{M}_{AH}}\parallel \overline{BA}\parallel \overline{M_{BC}{M}_{AC}}$    och    $2\cdot |\overline{M_{BH}{M}_{AH}}|=|\overline{BA}|=2\cdot |\overline{M_{BC}{M}_{AC}}|$ (det vill säga att de gröna linjerna i figuren är parallella och liklånga)

Eftersom $\overline{M_{BH}{M}_{AH}}\parallel \overline{M_{BC}{M}_{AC}}$   ,    $|\overline{M_{BH}{M}_{AH}}|=|\overline{M_{BC}{M}_{AC}}|$   ,    $\overline{H{M}_{AH}}\parallel \overline{O{M}_{BC}}$    och    $\overline{H{M}_{BH}}\parallel \overline{O{M}_{AC}}$ så är $\mathrm{△}H{M}_{AH}{M}_{BH}$ kongruent med $\mathrm{△}{M}_{BC}{M}_{AC}$. och då $M_{AH}$ är mittpunkt på $\overline{AH}$ så är:

$|\overline{AH}|=2\cdot |\overline{M_{AH}H}|=2\cdot |\overline{O{M}_{BC}}|$

Betrakta nu medianen till $\mathrm{\angle }BAC$, det vill säga $\overline{A{M}_{BC}}$ (gul), som skär $\overline{HO}$ i en punkt vi kallar $G$. Eftersom $\overline{AH}\parallel \overline{O{M}_{BC}}$ så är $\mathrm{\angle }O{M}_{BC}G=\mathrm{\angle }HAG$ och $\mathrm{\angle }GO{M}_{BC}=\mathrm{\angle }GHA$. Dessutom är såklart $\mathrm{\angle }OG{M}_{BC}=\mathrm{\angle }HGA$, vilket gör att $\mathrm{△}GO{M}_{BC}$ och $\mathrm{△}GHA$ är likformiga. Då $|\overline{AH}|=2\cdot |\overline{O{M}_{BC}}|$ följer således att:

$|\overline{HG}|=2\cdot |\overline{GO}|$

Att även medianerna till $\mathrm{\angle }ABC$ och $\mathrm{\angle }BCA$ delar $\overline{HO}$ i $G$ visas på samma sätt. Vilket leder till:

att triangelns tyngdpunkt (som ju är skärningspunkten mellan hörnvinklarnas medianer) ligger på Eurlerlinjen och

att triangelns tyngdpunkt dessutom delar sträckan mellan ortocentrum och den omskrivna cirkelns medelpunkt i två delar med proportionerna $|\overline{HG}|:|\overline{GO}|=2:1$.

de Longchampspunkten

Eftersom de Longchampspunkten är ortocentrums spegling i den omskrivna cirkelns medelpunkt (det vill säga $L=O+\overrightarrow{HO}$) är beviset för att även de Longchampspunkten ligger på Eulerlinjen trivialt.

Niopunktcirkelns medelpunkt

Beviset för att niopunktscirkelns medelpunkt ligger på Eulerlinjen ges i artikeln Niopunktscirkeln.

Bevis för att sträckan delas i proportionerna 3:1:2:6 och att H, N, G och O delar Eulerlinjen harmoniskt

1)    Från beviset ovan för triangelns tyngdpunkt har vi att $|\overline{HG}|=2\cdot |\overline{GO}|$

2)    Från artikeln Niopunktscirkeln har vi att $|\overline{HN}|=|\overline{NO}|$

3)    Från definitionen av de Longchampspunkten har vi att $|\overline{HO}|=|\overline{OL}|$

1 och 2 ger

4)    $2\cdot |\overline{NG}|+2\cdot |\overline{GO}|=2\cdot |\overline{NO}|=|\overline{HN}|+|\overline{NO}|=|\overline{HO}|=|\overline{HG}|+|\overline{GO}|=3\cdot |\overline{GO}|\Rightarrow 2\cdot |\overline{NG}|=|\overline{GO}|$

2 och 4 ger:

5)    $|\overline{HN}|=|\overline{NO}|=|\overline{NG}|+|\overline{GO}|=3\cdot |\overline{NG}|$

3, 4 och 5 ger:

6)    $6\cdot |\overline{NG}|=|\overline{HN}|+|\overline{NG}|+|\overline{GO}|=|\overline{HO}|=|\overline{OL}|$

Således:

$|\overline{HN}|:|\overline{NG}|:|\overline{GO}|:|\overline{OL}|=3\cdot |\overline{NG}|:1\cdot |\overline{NG}|:2\cdot |\overline{NG}|:6\cdot |\overline{NG}|$

Punkterna $H$, $N$, $G$ och $O$ delar Eulerlinjen harmoniskt eftersom:

$\frac{|\overline{HN}|}{|\overline{NG}|}=\frac{3}{1}=\frac{6}{2}=\frac{|\overline{HO}|}{|\overline{GO}|}\Rightarrow (H,G;N)=-(H,G;O)$

Eulerlinjer för olika trianglar

Eulerlinjer (svarta) för olika trianglar (blå). Ortocentrum rött, den omskrivna cirkelns medelpunkt grön, höjder genom hörnen orange, sidornas mittpunktsnormaler violetta. Sidan $\overline{BC}$ är densamma i alla trianglarna, medan det tredje hörnet $A$ flyttas i förhållande till sidan. Går man åt höger i raderna flyttas hörnet närmare sidans mittpunktsnormal (och höjden genom hörnet följer ju såklart med). Går man man neråt i kolumnerna flyttas $A$ närmare $\overline{BC}$. I andra kolumnen är vinkeln i $B$ rät, i den högra kolumnen ligger $A$ mitt över $\overline{BC}$ (pch trianglarna i kolumnen är således likbenta), medan höjden i den andra raden är $\sqrt{3}/2(\approx 0,87)$, vilket gör att triangeln längst till höger är liksidig (och ortocentrum sammanfaller med den omskrivna cirkelns medelpunkt – någon Eulerlinje kan således inte definieras för liksidiga trianglar).
Intervallen markerade med X innehåller de trianglar som har Eulerlinjer parallella till $\overline{BC}$ (tillsammans med trianglar utan denna egenskap). Om triangeln är rätvinklig, trubbvinklig eller likbent kan Eulerlinjen inte vara parallell med någon sida.

Referenser

• Eric W. Weisstein, Euler Line på MathWorld.
• Torbjörn Tambour, 2002, Euklidisk geometri, Matematiska institutionen, Stockholms universitet, sid. 57–60.