Liksidig triangel

Liksidig triangel

En liksidig triangel är en triangel vars sidor är lika långa. Alla vinklar i en sådan triangel är 60° ($\frac{\pi }{3}$) eftersom en triangels totala vinkelsumma är 180° ($\pi$).

En liksidig triangel är en regelbunden polygon med tre sidor och har därför Schläfli-symbolen $\left\{3\right\}$.

Egenskaper

Figur 2. Den liksidiga triangeln $\mathrm{△}ABC$. Dess inskrivna cirkel är röd, och den omskrivna cirkeln är grön.

För den liksidiga triangeln $\mathrm{△}ABC$ med sidlängden $a$ i figur 2 gäller:

Den liksidiga trianglens höjd

En liksidig triangels höjd ges av: $h=\frac{\sqrt{3}}{2}a$

Härledning

Betrakta exempelvis den rätvinkliga triangeln $\mathrm{△}A{C}^{\prime }C$ i figur 2 med längden på hypotenusan $|\overline{AC}|=a$ och längden på kateterna $|\overline{A{C}^{\prime }}|=\frac{a}{2}$ respektive $|\overline{C{C}^{\prime }}|=h$

Pythagoras sats ger:

$a^2=(\frac{a}{2}{)}^2+h^2=\frac{a^2}{4}+h^2\iff$

$h^2=a^2-\frac{a^2}{4}=\frac{3a^2}{4}\iff$

$h=\sqrt{\frac{3a^2}{4}}=\frac{\sqrt{3}}{2}a$

Omvänt har vi också $a=\frac{2h}{\sqrt{3}}$

Den liksidiga triangelns area

En liksidig triangels area ges av: $A=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}=\frac{h^2}{\sqrt{3}}$

Härledning

$A=\frac{h\cdot a}{2}$

med höjden enligt ovan $h=\frac{\sqrt{3}}{2}a$ får vi

$A=\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}a\cdot a}{2}=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}$ och

$A=\frac{h\cdot a}{2}=\frac{h\cdot \frac{2h}{\sqrt{3}}}{2}=\frac{h^2}{\sqrt{3}}$

De inskrivna och omskrivna cirklarnas radier

Den inskrivna cirkelns radie ges av: $r=\frac{a}{2\sqrt{3}}=\frac{h}{3}=\frac{R}{2}$ och den omskrivna cirkelns radie ges av: $R=\frac{a}{\sqrt{3}}=\frac{2h}{3}=2r$

Härledning

Betrakta de båda kongruenta rätvinkliga trianglarna $\mathrm{△}AM{C}^{\prime }$ och $\mathrm{△}AB{A}^{\prime }$. Hypotenusans längd hos dessa är $R$ respektive $a$ medan den till hörnet $A$ motstående kateten har längden $r$ respektive $\frac{a}{2}$

$\frac{R}{r}=\frac{a}{(\frac{a}{2})}=2\iff R=2r$

Vi ser också att höjden $h=|\overline{CM}|+|\overline{M{C}^{\prime }}|=R+r$ och då $h=\frac{\sqrt{3}}{2}a$ enligt ovan har vi:

$3r=R+r=h=\frac{\sqrt{3}}{2}a\iff r=\frac{a}{2\sqrt{3}}=\frac{(\frac{2h}{\sqrt{3}})}{2\sqrt{3}}=\frac{h}{3}$ och

$R=2r=2\cdot \frac{a}{2\sqrt{3}}=\frac{a}{\sqrt{3}}$ och $R=2r=\frac{2h}{3}$

Referenser

• Trianglar på Matteboken.se

Mall:Polygoner