Ortocentriskt system

Ett ortocentriskt system är inom plangeometri en uppsättning av fyra punkter, där tre av dem (vilka tre som helst) bildar hörn i en triangel och den fjärde punkten bildar denna triangels ortocentrum. För alla trianglar som inte är rätvinkliga gäller att de tre hörnen tillsammans med triangelns ortocentrum bildar ett ortocentriskt system. Det innebär att två av ursprungstriangelns hörn och denna triangels ortocentrum kan bilda en ny triangel, vars ortocentrum ligger i det tredje "överblivna" ursprungliga hörnet.

Grunder

För ortocentriska system gäller:

• Alla de fyra trianglar som kan bildas med tre av de fyra punkterna som hörn delar niopunktscirkel.
• Medelpunkterna i de omskrivna cirklarna till de fyra trianglar som kan bildas med hörn i tre av de fyra punkterna bildar ett ortocentriskt system. Detta system är kongruent med det ursprungliga systemet, men vridet 180° kring niopunktscirkelns medelpunkt. Detta system delar således även niopunktscirkel med det ursprungliga systemet.
• De omskrivna cirklarna till de fyra olika trianglarna har samma radie. Detta kan omformuleras som:
  • Den omskrivna cirkeln till en triangel har samma radie som den omskrivna cirkeln till två av dess hörn och dess ortocentrum.
• Summan av kvadraterna på avståndet mellan två punkter och på avståndet mellan de två övriga är lika med kvadraten på de omskrivna cirklarnas diameter.
• Tyngdpunkterna i de fyra trianglar, som kan bildas av tre av de fyra punkterna som hörn, bildar ett ortocentriskt system vridet 180° i förhållande till det ursprungliga systemet, men bara en tredjedel så stort.

Dessutom kan läggas:

• Medelpunkterna till de tre vidskrivna cirklarna och den inskrivna cirkeln till en valfri triangel bildar ett ortocentriskt system.

Bevis och allmänna resonemeng

Existensbevis

Mall:Dubbel bild Mall:Dubbel bild Betrakta de fyra trianglarna i figur 1 och utgå från den övre vänstra triangeln $\mathrm{△}ABC$ med höjderna $\overline{AF}$ från hörnet $A$ till sidan $\overline{BC}$, $\overline{BG}$ från hörnet $B$ till sidan $\overline{AC}$ och $\overline{CE}$ från hörnet $C$ till sidan $\overline{AB}$. Dessa tre höjder skär varandra i triangelns ortocentrum $D$. De till hörnen motstående sidorna skärs av dessa tre höjder i rät vinkel i höjdernas fotpunkter $F$, $G$ respektive $E$. Betrakta nu triangeln $\mathrm{△}ACD$ längst upp till höger i figuren. I denna triangel är $\overline{DG}$ höjd från hörnet $D$ till sidan $\overline{AC}$, $\overline{AE}$ från hörnet $A$ till (förlängningen av) sidan $\overline{CD}$ och $\overline{CF}$ från hörnet $C$ till (förlängningen av) sidan $\overline{AD}$. Förlängingen av dessa tre höjder skär varandra i punkten $B$, vilken således är ortocentrum till $\mathrm{△}ACD$. På samma sätt visas att $C$ är ortocentrum till $\mathrm{△}ABD$ nederst till vänster och att $A$ är ortocentrum till $\mathrm{△}BCD$ nederst till höger och beviset är därmed klart för att för att fyra punkter av vilka tre är hörn i en triangel och den fjärde är denna triangels ortocentrum bildar ett ortocentriskt system och att vilken som helst av dessa punkter är ortocentrum till den triangel som bildas med de tre övriga punkterna som hörn.

Niopunktscirkel och Eulerlinje

Att alla de fyra trianglarna som kan bildas av tre av de i det ortocentriska systemet har samma niopunktscirkel följer direkt ur att de alla fyra delar fotpunkter för höjder. Se figur 2. Exempelvis är punkten $E$ fotpunkt till hörnet $C$ på sidan $\overline{AB}$ i $\mathrm{△}ABC$, till $D$ på $\overline{AB}$ i $\mathrm{△}ABD$, till $A$ på $\overline{CD}$ i $\mathrm{△}ACD$ och till $B$ på $\overline{CD}$ i $\mathrm{△}BCD$. Dessa tre punkter ligger således på alla fyra trianglarnas niopunktscirklar och, eftersom endast en cirkel kan gå genom samma tre punkter, måste de fyra niopunktscirklarna sammanfalla.

Även de sex övriga punkterna på niopunktscirklarna sammanfaller då mittpunkterna på de sex sträckorna mellan de fyra punkterna i systemet, antingen är mittpunkter på sidan mellan två hörn eller mittpunkter på sträckan mellan ett hörn och ortocentrum. Exempelvis är i $\mathrm{△}BCD$ $M_{BC}$, $M_{BD}$ och $M_{CD}$ mittpunkter på sidorna, medan $M_{AB}$, $M_{AC}$ och $M_{AD}$ är mittpunkter på sträckorna från hörnen till ortocentrum, $A$.

Eftersom de fyra trianglarna delar niopunktscirkel och då niopunktscirkelns medelpunkt ligger på en triangels Eulerlinje innebär detta att Eulerlinjerna till de fyra trianglarna skär varandra i niopunktcirkelns medelpunkt (jämför figur 9).

De omskrivna cirklarnas medelpunkter

Betrakta figur 3. Medelpunkten i niounktscirkeln till en triangel ligger på Eulerlinjen i mittpunkten mellan triangelns ortocentrum och dess omskrivna cirkels medelpunkt och således är den omskrivna cirkelns medelpunkt speglingen av ortocentrum i niopunktscirkelns medelpunkt. Då alla de fyra trianglar som kan bildas i det ortocentriska systemet delar niopunktscirkel, och därmed dennas medelpunkt $N$, kommer spegling av de fyra punkterna ($A$, $B$, $C$ och $D$) i $N$ att avbilda samma förhållande ($O_A$, $O_B$, $O_C$ och $O_D$), men vridet 180° kring $N$.De båda systemen, det ursprungliga och det som bildas av de omskrivna cirklarnas medelpunkter till detta, delar således samma niopunktscirkel. Transformationen från det ursprungliga systemet till det system som utgörs av de omskrivna cirklarnas medelpunkter är sin egen invers, alltså en involution, eftersom en rotation med 180° utförd två gånger leder tillbaka till ursprungssystemet.

De omskrivna cirklarnas radier

I figur 5 delas triangeln $\mathrm{△}ABC$ i sex rätvinkliga deltrianglar av de tre höjderna genom dess ortocentrum $D$. Deltrianglarnas vinklar i $D$ är $\alpha$, $\beta$ och $\gamma$ medan komplementvinklarna betecknas ${\alpha }^{*}(=90^{\circ }-\alpha )$, ${\beta }^{*}(=90^{\circ }-\beta )$ respektive ${\gamma }^{*}(=90^{\circ }-\gamma )$. Kvoten mellan diametern i den omskrivna cirkeln till $\mathrm{△}ABC$ och diametern i den omskrivna cirkeln till $\mathrm{△}ABD$ kan med hjälp av sinussatsen (och att $\sin (180^{\circ }-\varphi )=\sin \varphi$) skrivas:

$\frac{d_{ABC}}{d_{ABD}}=\frac{\frac{|\overline{AB}|}{\sin \mathrm{\angle }ACB}}{\frac{|\overline{AB}|}{\sin \mathrm{\angle }ADB}}=\frac{\frac{|\overline{AB}|}{\sin ({\gamma }^{*}+{\beta }^{*})}}{\frac{|\overline{AB}|}{\sin (\gamma +\beta )}}=\frac{\sin (\gamma +\beta )}{\sin ({\gamma }^{*}+{\beta }^{*})}=\frac{\sin (\gamma +\beta )}{\sin (180^{\circ }-\gamma -\beta )}=\frac{\sin (\gamma +\beta )}{\sin (\gamma +\beta )}=1$

och således är radien i den omskrivna cirkeln till $\mathrm{△}ABC$ lika med radien i den omskrivna cirkeln till $\mathrm{△}ABD$. På samma sätt visas att de omskrivna cirklarna till $\mathrm{△}ACD$ och $\mathrm{△}BDC$ har samma radie som den omskrivna cirkeln till $\mathrm{△}ABC$. Härmed har alltså visats att de omskrivna cirklarna till de fyra trianglarna med hörn i tre av de fyra punkterna i det ortocentriska systemet har samma radie.

Summan av kvadraterna på avståndet mellan två punkter och på avståndet mellan de två övriga är lika med kvadraten på de omskrivna cirklarnas diameter

Betrakta triangeln $\mathrm{△}ABC$ med ortocentrum i $D$ i figur 6. Den omskrivna cirkeln (grön) har medelpunkt i $O_D$ medan niopunktscirkeln (blå) har medelpunkt i $N$. $N$ ligger mitt på Eulerlinjen mellan $D$ och $O_D$. Eftersom mittpunkten $M_{AB}$ på sidan $\overline{AB}$, mittpunkten $M_{CD}$ på $\overline{CD}$ och fotpunkten $E$ till hörnet $C$ på sidan $\overline{AB}$ alla tre ligger på niopunktscirkeln och vinkeln $\mathrm{\angle }{M}_{AB}E{M}_{CD}$ är rät, följer av Thales sats att $\overline{M_{AB}{M}_{CD}}$ är diameter i niopunktscirkeln och har mittpunkt i $N$. Således är $M_{CD}D{M}_{AB}{O}_D$ en parallellogram vilket innebär att $|\overline{M_{CD}D}|=|\overline{O_D{M}_{AB}}|$. Förläng $\overline{O_D{M}_{AB}}$ till en diameter (med längden $2\cdot R$ där $R$ är den omskrivna cirkelns radie) så att den skär den omskrivna cirkeln i punkterna $K$ och $L$. Enligt kordasatsen har vi då att

${\left(\frac{|\overline{AB}|}{2}\right)}^2=|\overline{A{M}_{AB}}|\cdot |\overline{M_{AB}B}|=|\overline{L{M}_{AB}}|\cdot |\overline{M_{AB}K}|=(R-|\overline{O_D{M}_{AB}}|)\cdot (R+|\overline{O_D{M}_{AB}}|)=$

$=R^2-|\overline{O_D{M}_{AB}}{|}^2=R^2-|\overline{M_{CD}D}{|}^2=R^2-{\left(\frac{|\overline{CD}|}{2}\right)}^2\iff$

$\iff |\overline{AB}{|}^2+|\overline{CD}{|}^2=4\cdot R^2=(2\cdot R{)}^2$.

På samma sätt visas att $|\overline{AC}{|}^2+|\overline{BD}{|}^2=(2\cdot R{)}^2$ och $|\overline{BC}{|}^2+|\overline{AD}{|}^2=(2\cdot R{)}^2$.

Tyngdpunkten för de fyra punkterna i ett ortocentriskt system ligger i den gemensamma niopunktscirkelns medelpunkt

I figur 6 ligger mittpunkten för punkterna $A$ och $B$ i $M_{AB}$, så att i stället för att placera vikten 1 i vardera av punkterna kan man placera vikten 2 i deras mittpunkt, $M_{AB}$, och på samma sätt kan man placera vikten 2 i $M_{CD}$ som är mittpunkt mellan $C$ och $D$ i stället för att placera vikten 1 i vardera av dessa punkter (se artikeln Barycentriska koordinater). I föregående avsnitt visades att niopunktscirkelns medelpunkt, $N$, är mittpunkt på sträckan $\overline{M_{AB}{M}_{CD}}$ och således kan hela vikten placeras i $N$ och systemet fortsätta förbli balanserat. Alltså ligger tyngdpunkten för de fyra punkterna i ett ortocentriskt system i dess gemensamma niopunktscirkels medelpunkt.

Trianglarnas tyngdpunkter

Mall:Dubbel bild Mall:Dubbel bild En triangels tyngdpunkt ($T_X$ i figur 7, indexet anger vilken av de fyra punkterna som är ortocentrum i triangeln i fråga, det vill säga $X\in \{A,B,C,D\}$) ligger på Eulerlinjen, liksom den omskrivna cirkelns medelpunkt (se ovan), och liksom för cirklarnas medelpunkter kan därför tyngdpunkterna för de fyra trianglarna konstrueras genom spegling i den för de fyra trianglarnas gemensamma niopunktscirkelns medelpunkt ($N$). Men, till skillnad från i fallet med de omskrivna cirklarna där avståndet mellan ortocentrum och cirkelns medelpunkt delades i proportionerna 1:1 av $N$, delar $N$ sträckan mellan ortocentrum ($X$) och $T_X$ i proportionerna 3:1. Detta leder till att $X$ avbildas i $T_X$ på motsatt sida om $N$, men bara på en tredjedel av avståndet. Således är det ortocentriska system som bildas av de fyra tyngdpunkterna vridet 180° i förhållande till det ursprungliga, men nerskalat till en tredjedel i storlek jämfört med detta och radiellt i relation till $N$.

de Longchampspunkter

En triangels de Longchampspunkt ($L$) är speglingen av ortocentrum ($H$) i den omskrivna cirkelns medelpunkt ($O$). Eftersom ortocentrum och den omskrivna cirkelns medelpunkt båda ligger på triangelns Eulerlinje gör även de Longchampspunkten det och då niopunktscirkelns medelpunkt ($N$) ligger mitt emellan ortocentrum och den omskrivna cirkelns medelpunkt är:

$|\overline{HN}|+|\overline{NL}|=|\overline{HL}|=2\cdot |\overline{HO}|=4\cdot |\overline{HN}|\Rightarrow |\overline{NL}|=3\cdot |\overline{HN}|$

Transformationen från ursprungssystemet (punkterna $A$, $B$, $C$ och $D$) till det system som utgörs av det förstnämndas Longchampspunkter (punkterna $L_A$, $L_B$, $L_C$ och $L_D$) innebär således dels en rotation med 180° kring $N$ och dels en uppskalning med faktorn 3 radiellt från $N$. Se figur 8.

Transformationer av punkter på Eulerlinjerna

Betrakta figur 9. I denna figur avbildas de fyra (skära) Eulerlinjerna och de fyra (fem, om man inberäknar niopunktscirkelns centrum omkring vilket allting kretsar) uppsättningar av punkter (behandlade ovan). Dessa fyra uppsättnigar av punkter inkluderar de fyra punkter som ingår i det ursprungliga ortocentriska systemet (röda) och som en och en utgör ortocentrum för de fyra trianglar som bildas av de övriga tre punkterna, den för alla dessa fyra gemensamma niopunktscirkelns medelpunkt (ljusblå), de fyra medelpunkterna (ljusgröna) i de fyra omskrivna cirklarna till de fyra trianglarna, de fyra tyngdpunkterna (mörkgröna) till de fyra trianglarna samt de fyra de Longchampspunkterna (mörkblå) till dessa fyra trianglar.

Ovan har visats hur man kan transformera ett ortocentriskt system med hjälp av en rotation 180° kring niopunktscirkelns medelpunkt ($N$), eventuellt följd av en upp- eller nerskalning med en faktor tre radiellt från $N$ vilket ger tre nya ortocentriska system med de fyra omskrivna cirklarnas medelpunkter, de fyra tyngdpunkterna eller de fyra de Longchampspunkterna. Låt $S$ beteckna ursprungssystemet och $S_X$ det system som bildas av transformationen $F_X$, så att

$F_O(S)=S_O$ betecknar transformationen till de omskrivna cirklarnas medelpunkter (rotation 180°)

$F_T(S)=S_T$ betecknar transformationen till tyngdpunkterna (rotation 180° plus nerskalning till en tredjedel radiellt från $N$)

$F_L(S)=S_L$ betecknar transformationen till de Longchampspunkterna (rotation 180° plus uppskalning med en faktor tre radiellt från $N$)

Att två på varandra följande rotationer på 180° "återställer" systemets orientering och att först öka avstånden till tre gånger och sedan minska dem till en tredjedel, eller vice versa, "återställer" systemets dimensioner är trivialt. Vi har således:

$F_O(F_O(S))=F_O(S_O)=S\Rightarrow F_O={F_O}^{-1}$

$F_T(F_L(S))=F_T(S_L)=S\Rightarrow F_L={F_T}^{-1}$ och

$F_L(F_T(S))=F_L(S_T)=S\Rightarrow F_T={F_L}^{-1}$,

det vill säga att $F_O$ är sin egen invers medan $F_T$ och $F_L$ är inverser till varandra.

In- och vidskrivna cirklar

Mall:Dubbel bild Se figur 10. Att de in- och vidskrivna cirklarnas medelpunkter ($I$ respektive $E_a$, $E_b$ och $E_c$) bildar ett ortocentriskt system beror på att de inre bisektriserna i $\mathrm{△}ABC$ möter de yttre bisektriserna i rät vinkel. I den triangel som bildas av de vidskrivna cirklarnas medelpunkter ($\mathrm{△}{E}_a{E}_b{E}_c$) är således sträckorna $\overline{E_{a}A}$, $\overline{E_{b}B}$ och $\overline{E_{c}C}$ höjder till sidorna $\overline{E_b{E}_c}$, $\overline{E_a{E}_c}$ respektive $\overline{E_a{E}_b}$ och då dessa tre höjder skär varandra i $I$ är $I$ ortocentrum i $\mathrm{△}{E}_a{E}_b{E}_c$. De fyra punkterna $I$, $E_a$, $E_b$ och $E_c$ bildar således ett ortocentriskt system.

Notera att detta system är fristående från de system som beskrivits ovan och vars punkter ligger på Eulerlinjerna, då de in- och vidkrivna cirklarnas medelpunkter till en triangel (normalt − liksidiga och, i viss mån likbenta, trianglar utgör undantag) inte ligger på en sådan linje.

De fyra trianglarna i ett ortocentriskt system har vardera en inskriven cirkel och tre vidskrivna cirklar. Enligt Feuerbachs sats tangerar en triangels niopunktscirkel de in- och vidskrivna cirklarna och, då de fyra trianglarna i ett ortocentriskt system delar niopunktscirkel tangerar denna således de sammanlagt sexton in- och vidskrivna cirklarna (se figur 11).

Sfäriska trianglar

Även för sfäriska trianglar finns en typ av ortocentriska system, men då de räta linjerna i plangeometrin ersatts av storcirklar i den sfäriska geometrin och då två storcirklar skär varandra i två punkter, har en sfärisk triangel två ortocentra. Betrakta den sfäriska triangeln $\mathrm{△}ABC$ i figur 12. De tre höjderna $\overline{AD}$, $\overline{BE}$ och $\overline{CF}$ skär varandra dels i $G$ och dels i $G^{\prime }$.

Även för sfäriska ortocentriska system gäller att vilka tre punkter som helst av de fyra kan vara hörn i en sfärisk triangel vars ortocentrum ligger i den fjärde punkten. I figur 12 är utgångstriangeln $\mathrm{△}ABC$ med ortocentrum i $G$ (och $G^{\prime }$), men att även, exempelvis, $A$ är ortocentrum i $\mathrm{△}BCG$ framgår av att de tre höjderna $\overline{GD}$, $\overline{BF}$ och $\overline{CE}$ skär varandra i $A$ och $A^{\prime }$ (som är den andra skärningspunkten, antipoden till $A$, mellan de tre storcirklarna, dock ej markerad i figuren). På motsvarande sätt är $B$ (och $B^{\prime }$) ortocentrum till $\mathrm{△}ACG$ och $C$ (och $C^{\prime }$) ortocentrum till $\mathrm{△}ABG$.

Referenser

• Eric W. Weisstein, Orthocentric System på Wolfram MathWorld.
• Roger A. Johnson, 1929, Modern geometry; an elementary treatise on the geometry of the triangle and the circle, Houghton Mifflin Company, Cambridge Massachusetts, sid. 165–168.