Median (geometri)

Figur 1. De röda medianerna skär varandra i triangelns tyngdpunkt O.

Figur 2. Avståndet längs medianen från hörnet till tyngdpunkten är dubbelt så stort som avståndet från tyngdpunkten till den motstående sidans mittpunkt.

Inom geometri betecknar median (från latin medianus, "mitterst", från medius "i mitten") en linje från ett hörn i en triangel till den motstående sidans mittpunkt. De tre medianerna skär varandra i triangelns geometriska tyngdpunkt. Medianerna är cevianer.

Begreppet kan utsträckas till att omfatta tetraedrar.

Förhållande till tyngdpunkten

Eftersom $|\overline{CE}|=|\overline{BE}|$ (se figur 1) har trianglarna $\mathrm{△}ACE$ och $\mathrm{△}ABE$ samma yta (deras höjd med avseende på basen $|\overline{CE}|$ respektive $|\overline{BE}|$ är ju densamma). Eftersom de har samma yta så har de också samma höjd, $h$, med avseende på basen $\overline{AE}$. En triangels tyngdpunkt ligger på avståndet $h/3$ från basen och tyngdpunkterna för $\mathrm{△}ACE$ och $\mathrm{△}ABE$ ligger alltså lika långt från $\overline{AE}$. Deras gemensamma tyngdpunkt (alltså tyngdpunkten för $\mathrm{△}ABC$) ligger alltså mitt emellan dessa tyngdpunkter (trianglarna har ju samma yta och därmed samma "vikt"), det vill säga på medianen $\overline{AE}$.

Likaledes har vi att $|\mathrm{△}BCF|=|\mathrm{△}BAF|$ och $|\mathrm{△}CAD|=|\mathrm{△}CBD|$ och på samma sätt som ovan finner vi att tyngdpunkten även ligger på $\overline{BF}$ och $\overline{CD}$. Därmed har vi visat att triangelns medianer skär varandra i den geometriska tyngdpunkten.

Att triangelns tyngdpunkt ligger på medianen inses också om man betraktar alla sträckor från $|\overline{AC}|$ till $|\overline{AB}|$ som är parallella med $|\overline{BC}|$. Deras mittpunkter (=tyngdpunkter) ligger ju alla på samma linje - medianen $|\overline{AE}|$ - och sålunda ligger deras gemensamma tyngdpunkt också på linjen.

I figur 2 ser vi att trianglarna $\mathrm{△}FHS$ och $\mathrm{△}FGC$ är likformiga och eftersom $|\overline{CG}|=3\cdot |\overline{SH}|$ så är $|\overline{CF}|=3\cdot |\overline{SF}|$. Tyngdpunkten delar alltså medianen så att sträckan från tyngdpunkten till hörnet är dubbelt så lång som sträckan från tyngdpunkten till den motstående sidans mittpunkt.

Sex likstora trianglar

Eftersom en median delar en triangel (figur 1) i två delar med samma yta (se "Förhållande till tyngdpunkten" ovan), har vi att:

$|\mathrm{△}ACE|=|\mathrm{△}ABE|$   (1)

$|\mathrm{△}BCF|=|\mathrm{△}BAF|$   (2)

$|\mathrm{△}CAD|=|\mathrm{△}CBD|$   (3)

$|\mathrm{△}OBE|=|\mathrm{△}OCE|$   (4)

$|\mathrm{△}OAF|=|\mathrm{△}OCF|$   (5)

$|\mathrm{△}OAD|=|\mathrm{△}OBD|$   (6)

Vi har med hjälp av (1) att:

$|\mathrm{△}OAD|+|\mathrm{△}OBD|+|\mathrm{△}OBE|=|\mathrm{△}ABE|=|\mathrm{△}ACE|=|\mathrm{△}OAF|+|\mathrm{△}OCF|+|\mathrm{△}OCE|$   (7)

Vi sätter in likheterna (4), (5) och (6) i (7) och får:

$|\mathrm{△}OAD|+|\mathrm{△}OAD|+|\mathrm{△}OBE|=|\mathrm{△}OAF|+|\mathrm{△}OAF|+|\mathrm{△}OBE|\iff$

$|\mathrm{△}OAD|=|\mathrm{△}OAF|$

På samma sätt får vi från (2) respektive (3) att $|\mathrm{△}OCE|=|\mathrm{△}OCF|$ och $|\mathrm{△}OBD|=|\mathrm{△}OBE|$.

Sålunda har vi funnit att:

$|\mathrm{△}OAD|=|\mathrm{△}OAF|=|\mathrm{△}OCF|=|\mathrm{△}OCE|=|\mathrm{△}OBE|=|\mathrm{△}OBD|$.

Medianerna delar alltså en triangel i sex likstora trianglar.

Och eftersom detta även innebär att $|\mathrm{△}AOB|=|\mathrm{△}AOC|=|\mathrm{△}BOC|$ ger det att medianernas skärningspunkt, triangelns tyngdpunkt, har de barycentriska koordinaterna $1:1:1$.

Medianernas längd

Figur 3.Parallellogrammet ABCD består av de två kongruenta trianglarna ABC och CDA. Längden av BD är medianens dubbla längd.

Betrakta parallellogrammen $ABCD$ i figur 3. Det kan delas i de två kongruenta ("identiska i allt utom plats och riktning") trianglarna $\mathrm{△}ABC$ och $\mathrm{△}CDA$. $\overline{BD}$ delar $\overline{AC}$ på mitten och vice versa. Medianens längd, som vi kan kalla $m_B$, i $\mathrm{△}ABC$ från hörnet $B$ till sidan $\overline{AC}$ är alltså halva $|\overline{BD}|$. Parallellogramlagen ger oss:

$2\cdot |\overline{AB}{|}^2+2\cdot |\overline{BC}{|}^2=|\overline{AC}{|}^2+|\overline{BD}{|}^2\iff$

$|\overline{BD}{|}^2=2\cdot |\overline{AB}{|}^2+2\cdot |\overline{BC}{|}^2-|\overline{AC}{|}^2$

$m_B=\frac{|\overline{BD}|}{2}=\frac{1}{2}\sqrt{2\cdot |\overline{AB}{|}^2+2\cdot |\overline{BC}{|}^2-|\overline{AC}{|}^2}$

och analogt:

$m_A=\frac{1}{2}\sqrt{2\cdot |\overline{AB}{|}^2+2\cdot |\overline{AC}{|}^2-|\overline{BC}{|}^2}$

$m_C=\frac{1}{2}\sqrt{2\cdot |\overline{AC}{|}^2+2\cdot |\overline{BC}{|}^2-|\overline{AB}{|}^2}$

Att summan av kvadraterna på två triangelsidor är lika med summan av halva kvadraten på den tredje sidan och dubbla kvadraten på medianen till denna kallas Apollonios sats (efter Apollonios från Perga). Exempelvis kan vi skriva om uttrycket för $m_A$ som:

$|\overline{AB}{|}^2+|\overline{AC}{|}^2=\frac{|\overline{BC}{|}^2}{2}+2m_A^2$

Summerar vi kvadraterna på dessa tre uttryck för medianlängderna finner vi att:

$4\cdot (m_A^2+m_B^2+m_C^2)=3\cdot (|\overline{AB}{|}^2+|\overline{AC}{|}^2+|\overline{BC}{|}^2)$

Vilket även ger, exempelvis:

$|\overline{AC}|=\frac{2}{3}\sqrt{2m_A^2+2m_C^2-m_B^2}$

Tetraeder

Tetraeder. En median går från ett hörn till den motstående sidans tyngdpunkt. Exempelvis från hörnet B till S_ACD som är tyngdpunkten i triangeln ACD. De skär varandra i S, tetraedens tyngdpunkt.

I en tetraeder går medianerna från ett hörn till den motstående sidans tyngdpunkt och de skär varandra i tetraederns tyngdpunkt. Att de gör så inses om man betraktar alla trianglar som är parallella med "bastriangelns" yta och som har sina hörn i tetraederkanterna. Dessa trianglar är ju likformiga och eftersom deras hörn sammanbinds av de rätlinjiga tetraederkanterna, så ligger också deras tyngdpunkter på samma räta linje: tetraedermedianen. Tyngdpunkten delar dock inte medianerna i förhållandet 1:2, utan 1:3. Detta förhållande kallas Commandinos sats, efter den italienske 1500-talsmatematikern Federico Commandino.