Commandinos sats

Figur 2. Denna figur avbildar en regelbunden tetraeder där höjderna och medianerna sammanfaller.

Commandinos sats är en sats inom euklidisk geometri som säger att medianderna i en tetraeder skär varandra i en punkt som delar medianerna i förhållandet 3:1 med den längre delen mot tetraederhörnet.

Den är uppkallad efter den italienske matematikern Federico Commandino (1509-1575) som publicerade förhållandet i sitt verk Liber de centro gravitatis solidorum 1565.^[1]^[2]

Punkten sammanfaller med en solid tetraeders tyngdpunkt.

Bevis

Betrakta en tetraeder med de fyra hörnen $E_{1}$ , $E_{2}$ , $E_{3}$ och $E_{4}$ . Låt $K_{1}$ vara mittpunkten på tetraederkanten $\overline{E_{3} E_{4}}$ och konstruera triangeln i figur 2. $\overline{E_{1} K_{2}}$ är då medianen i tetraedersidan $△ E_{1} E_{3} E_{4}$ från $E_{1}$ och likaledes är $\overline{E_{2} K_{1}}$ medianen i tetraedersidan $△ E_{2} E_{3} E_{4}$ från $E_{2}$ . Dessa tetraedersidors tyngdpunkter ligger i $F_{2}$ respektive $F_{1}$ . Linjerna $\overline{E_{1} F_{1}}$ och $\overline{E_{2} F_{2}}$ är tetraederns medianer från hörnen $E_{1}$ respektive $E_{2}$ . De skär varandra i punkten $M$ . $F_{1}$ delar $\overline{E_{2} K_{1}}$ i förhållandet 2:1 och $F_{2}$ delar $\overline{E_{1} K_{2}}$ på samma sätt. Vi kan sålunda konstatera ur vår figur att:

| △ E_{2} F_{1} M | = 2 \cdot | △ K_{1} F_{1} M |

(1)

| △ E_{1} F_{2} M | = 2 \cdot | △ K_{1} F_{2} M |

(2)

| △ E_{1} E_{2} F_{1} | = 2 \cdot | △ E_{1} K_{1} F_{1} |

(3) och

| △ E_{2} E_{1} F_{2} | = 2 \cdot | △ E_{2} K_{1} F_{2} |

(4)

Ur figuren och sedan med hjälp av (2) finner vi:

| △ E_{2} E_{1} F_{2} | = | △ E_{1} F_{2} M | + | △ E_{1} E_{2} M | = 2 \cdot | △ K_{1} F_{2} M | + | △ E_{1} E_{2} M |

(5)

Vidare, ur figuren och sedan med hjälp av (1):

| △ E_{2} K_{1} F_{2} | = | △ E_{2} F_{1} M | + | △ K_{1} F_{1} M | + | △ K_{1} F_{2} M | = 3 \cdot | △ K_{1} F_{1} M | + | △ K_{1} F_{2} M |

(6)

Med hjälp av (4) kan vi nu slå samman (5) och (6) till:

2 \cdot | △ K_{1} F_{2} M | + | △ E_{1} E_{2} M | = 2 \cdot (3 \cdot | △ K_{1} F_{1} M | + | △ K_{1} F_{2} M |) =

= 6 \cdot | △ K_{1} F_{1} M | + 2 \cdot | △ K_{1} F_{2} M | \Leftrightarrow

| △ E_{1} E_{2} M | = 6 \cdot | △ K_{1} F_{1} M |

(7)

På samma sätt som för (5) får vi ur figuren och sedan med hjälp av (2) att:

| △ E_{1} E_{2} F_{1} | = | △ E_{2} F_{1} M | + | △ E_{1} E_{2} M | = 2 \cdot | △ K_{1} F_{1} M | + | △ E_{1} E_{2} M |

(8)

Vidare, analogt med (6), ur figuren och sedan med hjälp av (1):

| △ E_{1} K_{1} F_{1} | = | △ E_{1} F_{2} M | + | △ K_{1} F_{2} M | + | △ K_{1} F_{1} M | = 3 \cdot | △ K_{1} F_{2} M | + | △ K_{1} F_{1} M |

(9)

Och analogt med (7) finner vi med hjälp av (3) att:

2 \cdot | △ K_{1} F_{1} M | + | △ E_{1} E_{2} M | = 2 \cdot (3 \cdot | △ K_{1} F_{2} M | + | △ K_{1} F_{1} M |) =

= 6 \cdot | △ K_{1} F_{2} M | + 2 \cdot | △ K_{1} F_{1} M | \Leftrightarrow

| △ E_{1} E_{2} M | = 6 \cdot | △ K_{1} F_{2} M |

(10)

(7) och (10) ger oss nu:

6 \cdot | △ K_{1} F_{1} M | = | △ E_{1} E_{2} M | = 6 \cdot | △ K_{1} F_{2} M | \Leftrightarrow

| △ K_{1} F_{1} M | = | △ K_{1} F_{2} M |

(11)

Och, ur figuren, sedan med (2) och till slut med (11):

| △ E_{1} K_{1} M | = | △ E_{1} F_{2} M | + | △ K_{1} F_{2} M | = 3 \cdot | △ K_{1} F_{2} M | = 3 \cdot | △ K_{1} F_{1} M |

Men $△ E_{1} K_{1} M$ och $△ K_{1} F_{1} M$ har samma höjd i $K_{1}$ så basen $\overline{E_{1} M}$ måste sålunda vara tre gånger så lång som $\overline{F_{1} M}$ och $M$ delar alltså $\overline{E_{1} F_{1}}$ i förhållandet 3:1. Och på samma sätt kan vi visa att $M$ även delar $\overline{E_{2} F_{2}}$ i förhållandet 3:1. Genom att sedan exempelvis byta ut $E_{2}$ mot $E_{3}$ och sedan mot $E_{4}$ (och såklart byts då även $K_{1}$ och $F_{2}$ ut) visar man att alla medianerna skär varandra i samma punkt och att alla medianerna delas i förhållandet 3:1 av denna punkt.

Quod erat demonstrandum!

Referenser

↑ Howard Whitley Eves, 1983, Great Moments in Mathematics (before 1650), sid. 225. Mall:ISBN.
↑ Federico Commandino, 1565, Liber de centro gravitatis solidorum, sid. 22.

[1] Howard Whitley Eves, 1983, Great Moments in Mathematics (before 1650), sid. 225. Mall:ISBN.

[2] Federico Commandino, 1565, Liber de centro gravitatis solidorum, sid. 22.

[1]

[2]

Commandinos sats

Bevis

Referenser

Navigeringsmeny

Sök