Arakawa–Kanekos zetafunktion

Inom matematiken är Arakawa–Kanekos zetafunktion en generalisering av Riemanns zetafunktion.

Definition

Arakawa–Kanekos zetafunktion ${\xi }_k(s)$ definieras som

${\xi }_k(s)=\frac{1}{\mathrm{\Gamma }(s)}\underset{0}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{t^s-1}{e^t-1}{\mathrm{L}\mathrm{i}}_k(1-e^{-t})dt$

där Li_k är den k-te polylogaritmen

${\mathrm{L}\mathrm{i}}_k(z)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{z^n}{n^k}.$

Egenskaper

Integralen konvergerar för $\mathrm{\Re }(s)>0$ och kan fortsättas analytiskt till hela komplexa planet som en hel funktion.

Specialfallet k = 1 ger ${\xi }_1(s)=s\zeta (s+1)$ där $\zeta$ är Riemanns zetafunktion.

Värdena vid heltal är relaterade till multipel-zetafunktionen enligt

${\xi }_k(m)={\zeta }_m^{*}(k,1,\dots ,1)$

där

${\zeta }_n^{*}(k_1,\dots ,k_{n-1},k_n)=\sum _{0<m_1<m_2<\cdots <m_n}\frac{1}{m_1^{k_1}\cdots m_{n-1}^{k_{n-1}}{m}_n^{k_n}}.$

Referenser

• Mall:Enwp

Allmänna källor

• Mall:Tidskriftsref
• Mall:Tidskriftsref
• Mall:Tidskriftsref