Rogers–Ramanujans kedjebråk

Inom matematiken är Rogers–Ramanujans kedjebråk ett kedjebråk upptäckt av Rogers 1894 och oberoende av Srinivasa Ramanujan som är nära relaterad till Rogers–Ramanujan-identiteterna. Den kan skrivas i sluten form för flera olika argument.

Definition

Givet funktionerna i Rogers–Ramanujan-identiteterna,

$\begin{array}{cc}G(q)& =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{q^{n^2}}{(q;q{)}_n}=\frac{1}{(q;q^5{)}_{\mathrm{\infty }}(q^4;q^5{)}_{\mathrm{\infty }}}\\ & =\prod _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{(1-q^{5n-1})(1-q^{5n-4})}\\ & =1+q+q^2+q^3+2q^4+2q^5+3q^6+\cdots \end{array}$

och

$\begin{array}{cc}H(q)& =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{q^{n^2+n}}{(q;q{)}_n}=\frac{1}{(q^2;q^5{)}_{\mathrm{\infty }}(q^3;q^5{)}_{\mathrm{\infty }}}\\ & =\prod _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{(1-q^{5n-2})(1-q^{5n-3})}\\ & =1+q^2+q^3+q^4+q^5+2q^6+2q^7+\cdots \end{array}$

(Mall:OEIS2C och Mall:OEIS2C) där $(a;q{)}_{\mathrm{\infty }}$ betecknar den oändliga q-Pochhammersymbolen, då är Rogers–Ramanujans kedjebråk

$\begin{array}{cc}R(q)& =\frac{q^{11/60}H(q)}{q^{-1/60}G(q)}=q^{1/5}\prod _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(1-q^{5n-1})(1-q^{5n-4})}{(1-q^{5n-2})(1-q^{5n-3})}\\ & =\frac{q^{1/5}}{1+\frac{q}{1+\frac{q^2}{1+\frac{q^3}{1+\ddots }}}}\end{array}$

Modulära funktioner

Om q = e^2πiτ , så är $q^{-1/60}G(q)$ och $q^{11/60}H(q)$, såsom även deras kvot $R(q)$, modulära funktioner av τ. Eftersom de har heltalskoefficienter, följer det av teorin komplex multiplikation att deras värden för imaginära kvadratisk irrationella τ är algebraiska tal som kan evalueras explicit.

Exempel

$R\left(e^{-2\pi }\right)=\frac{e^{-2\pi /5}}{1+\frac{e^{-2\pi }}{1+\frac{e^{-4\pi }}{1+\ddots }}}=\sqrt{\frac{5+\sqrt{5}}{2}}-\frac{1+\sqrt{5}}{2}$

$R\left(e^{-2\pi \sqrt{5}}\right)=\frac{e^{-2\pi /\sqrt{5}}}{1+\frac{e^{-2\pi \sqrt{5}}}{1+\frac{e^{-4\pi \sqrt{5}}}{1+\ddots }}}=\frac{\sqrt{5}}{1+(5^{3/4}(\varphi -1{)}^{5/2}-1{)}^{1/5}}-\varphi$

där $\varphi$ är det gyllene snittet.

Relation till modulära former

Rogers–Ramanujans kedjebråk är relaterad till Dedekinds etafunktion, en modulär form av vikt 1/2, enligt

$\frac{1}{R(q)}-R(q)=\frac{\eta (\tau /5)}{\eta (5\tau )}+1$

$\frac{1}{R^5(q)}-R^5(q)={\left(\frac{\eta (\tau )}{\eta (5\tau )}\right)}^6+11$

Relation till j-invarianten

En formel för j-invarianten är

$j(\tau )=\frac{(x^2+10x+5{)}^3}{x}$

där

$x={\left(\frac{\sqrt{5}\eta (5\tau )}{\eta (\tau )}\right)}^6.$

Genom att eliminera eta-kvoten kan j(τ) skrivas med hjälp av $r=R(q)$ som

$j(\tau )=\frac{-(1+228r^5+494r^{10}-228r^{15}+r^{20}{)}^3}{r^5(-1+11r^5+r^{10}{)}^5}$

$j(\tau )-1728=\frac{-(1-522r^5-10005r^{10}-10005r^{20}+522r^{25}+r^{30}{)}^2}{r^5(-1+11r^5+r^{10}{)}^5}$

där täljaren och nämnaren är polynominvarianter av ikosaedern. Genom att använda modulära ekvationerna mellan R(q) och R(q⁵) kan man bevisa att

$j(5\tau )=\frac{-(1-12r^5+14r^{10}+12r^{15}+r^{20}{)}^3}{r^{25}(-1+11r^5+r^{10})}$

som faktiskt är j-invarianten av den elliptiska kurvan

$y^2+(1+r^5)xy+r^{5}y=x^3+r^5{x}^2$

parameteriserad av icke-spetspunkterna av den modulära kurvan $X_1(5)$.

Funktionalekvation

Vi använder beteckningen $r(\tau )=R(q)$ då q = e^2πiτ. Medan andra modulära former som j-invarianten satisfierar

$j(-\frac{1}{\tau })=j(\tau )$

och Dedekinds etafunktion satisfierar

$\eta (-\frac{1}{\tau })=\sqrt{-i\tau }\eta (\tau )$

innehåller funktionalekvationen för Rogers–Ramanujans kedjebråk det gyllene snittet $\varphi$:

$r(-\frac{1}{\tau })=\frac{1-\varphi r(\tau )}{\varphi +r(\tau )}$

Modulära ekvationer

Det finns flera intressanta modulära ekvationer mellan $R(q)$ och $R(q^n)$. Några eleganta sådana för små primtal n är:

Låt u = R(q) och v = R(q²). Då är $v-u^2=(v+u^2)u{v}^2.$

Låt u = R(q) och v = R(q³). Då är $(v-u^3)(1+u{v}^3)=3u^2{v}^2.$

Låt u = R(q) och v = R(q⁵). Då är $(1-2v+4v^2-3v^3+v^4)v=(1+3v+4v^2+2v^3+v^4)u^5.$

Låt u = R(q) och v = R(q¹¹) Då är $uv(-1+11u^5+u^{10})(-1+11v^5+v^{10})=(u-v{)}^{12}.$

För n = 5, notera att $-1+11v^5+v^{10}=(-1+v+v^2)(1-2v+4v^2-3v^3+v^4)(1+3v+4v^2+2v^3+v^4).$

Andra resultat

Ramanujan upptäckte flera intressanta resultat om R(q). Låt $u=R(q^a)$, $v=R(q^b)$ och $\varphi$ vara det gyllene snittet.

Om $ab=4{\pi }^2$ är $(u+\varphi )(v+\varphi )=\sqrt{5}\varphi .$

Om $5ab=4{\pi }^2$ är $(u^5+{\varphi }^5)(v^5+{\varphi }^5)=5\sqrt{5}{\varphi }^5.$

Potenserna av R(q) kan skrivas på intressanta sätt. För dess kub är

$R^3(q)=\frac{\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{q^{2n}}{1-q^{5n+2}}-\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{q^{3n+1}}{1-q^{5n+3}}}{\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{q^n}{1-q^{5n+1}}-\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{q^{4n+3}}{1-q^{5n+4}}}$

För dess femte potens, låt $w=R(q)R^2(q^2)$, då är

$R^5(q)=w{\left(\frac{1-w}{1+w}\right)}^2,R^5(q^2)=w^2\left(\frac{1+w}{1-w}\right)$

Referenser

• Mall:Enwp

Källor

• Mall:Citation
• Mall:Citation

Externa länkar

• Mall:MathWorld
• Mall:MathWorld