j-invarianten

Kleins j-invariant i komplexa planet

Inom matematiken är Kleins j-invariant, sedd som en funktion av komplexa variabeln τ, en modulär funktion av vikt noll för Mall:Math definierad i övre planhalvan av komplexa planet. Den är den unika funktionen med dessa egenskaper som är analytisk förutom vid en spets där den har en enkel pol så att

$j\left(e^{\frac{2}{3}\pi i}\right)=0,j(i)=1728.$

Rationella funktioner av j är modulära, och det kan visas att alla modulära funktioner är av denna form. j-invarianten studerades klassiskt som en parametrisering av elliptiska kurvor över Mall:Math, men den har även överraskande samband med symmetrierna av Monstergruppen.

Fourierexpansion

j-invariantens Fourierexpansion i variabeln Mall:Math börjar

$j(\tau )=\frac{1}{q}+744+196884q+21493760q^2+864299970q^3+20245856256q^4+\cdots$

Alla koefficienterna är heltal, vilket resulterar i flera nästan-heltal, såsom Ramanujans konstant:

$e^{\pi \sqrt{163}}\approx 640320^3+744$.

Alternativa uttryck

Följande formel gäller

$j(\tau )=\frac{256(1-x{)}^3}{x^2}$

där Mall:Math och Mall:Math är modulära lambdafunktionen. Värdet av Mall:Math förblir oförändrat då λ ersätts med något av de sex värdena

$\left\{\lambda ,\frac{1}{1-\lambda },\frac{\lambda -1}{\lambda },\frac{1}{\lambda },\frac{\lambda }{\lambda -1},1-\lambda \right\}.$

Klasskroppsteori och Mall:Mvar

Mall:Mvar-invarianten har många remarkabla egenskaper:

• Om Mall:Mvar är ett singulärt moduli, d.v.s. ett godtyckligt element av en imaginär kvadratisk kropp med positiv imaginär del (så att Mall:Mvar är definierad), då är Mall:Math ett algebraiskt heltal.

• Kroppsutvidgningen Mall:Math är abelsk, d.v.s. har abelsk Galoisgrupp.

Formler för pi

Genom att använda formeln $j\left(\frac{1+\sqrt{-163}}{2}\right)=-640320^3$ bevisade Chudnovskybröderna 1987 formlen

$\frac{1}{\pi }=\frac{12}{640320^{3/2}}\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(6k)!(163\cdot 3344418k+13591409)}{(3k)!(k!{)}^3(-640320{)}^{3k}}.$

Källor

• Mall:Enwp
• Mall:Citation. Provides a very readable introduction and various interesting identities.
  • Mall:Citation
• Mall:Citation. Provides a variety of interesting algebraic identities, including the inverse as a hypergeometric series.
• Mall:Citation Introduces the j-invariant and discusses the related class field theory.
• Mall:Citation. Includes a list of the 175 genus-zero modular functions.
• Mall:Citation.
• Mall:Citation.
• Mall:Citation. Provides a short review in the context of modular forms.
• Mall:Citation.