Rogers–Ramanujan-identiteterna

Inom matematiken är Rogers–Ramanujan-identiteterna två identiteter relaterade till q-hypergeometriska serier. De upptäcktes och bevisades ursprungligen av Mall:Harvs. Srinivasa Ramanujan återupptäckte dem något före 1913, men kunde inte bevisa dem. Ramanujan hittade senare Rogers artikel från 1917 och de publicerade tillsammans ett nytt bevis Mall:Harv. Mall:Harvs upptäckte och bevisade identiteterna senare oberoende av Rogers och Ramanujan.

Definition

Rogers–Ramanujan-identiteterna är

$G(q):=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{q^{n^2}}{(q;q{)}_n}=\frac{1}{(q;q^5{)}_{\mathrm{\infty }}(q^4;q^5{)}_{\mathrm{\infty }}}=1+q+q^2+q^3+2q^4+2q^5+3q^6+\cdots$ Mall:OEIS

och

$H(q):=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{q^{n^2+n}}{(q;q{)}_n}=\frac{1}{(q^2;q^5{)}_{\mathrm{\infty }}(q^3;q^5{)}_{\mathrm{\infty }}}=1+q^2+q^3+q^4+q^5+2q^6+\cdots$ Mall:OEIS

där $(\cdot ;\cdot {)}_n$ är q-Pochhammersymbolen.

Modulära funktioner

Om q = e^2πiτ är q^−1/60G(q) och q^11/60H(q) modulära funktioner av τ.

Användningar

Rogers–Ramanujans kedjebråk är

$1+\frac{q}{1+\frac{q^2}{1+\frac{q^3}{1+\cdots }}}=\frac{G(q)}{H(q)}.$

Se även

• Rogerspolynom

Referenser

• Mall:Enwp

Källor

• Mall:Citation
• Mall:Citation
• Mall:Citation
• Mall:Citation
• Issai Schur, Ein Beitrag zur additiven Zahlentheorie und zur Theorie der Kettenbrüche, (1917) Sitzungsberichte der Berliner Akademie, pp. 302–321.
• W.N. Bailey, Generalized Hypergeometric Series, (1935) Cambridge Tracts in Mathematics and Mathematical Physics, No.32, Cambridge University Press, Cambridge.
• George Gasper and Mizan Rahman, Basic Hypergeometric Series, 2nd Edition, (2004), Encyclopedia of Mathematics and Its Applications, 96, Cambridge University Press, Cambridge. Mall:ISBN.
• Bruce C. Berndt, Heng Huat Chan, Sen-Shan Huang, Soon-Yi Kang, Jaebum Sohn, Seung Hwan Son, The Rogers-Ramanujan Continued Fraction, J. Comput. Appl. Math. 105 (1999), pp. 9–24.
• Cilanne Boulet, Igor Pak, A Combinatorial Proof of the Rogers-Ramanujan and Schur Identities, Journal of Combinatorial Theory, Ser. A, vol. 113 (2006), 1019–1030.
• Mall:Citation

Externa länkar

• Mall:MathWorld
• Mall:MathWorld