q-Pochhammersymbolen

q-Pochhammersymbolen är en q-analogi av Pochhammersymbolen. Den definieras som

$(a;q{)}_n=\prod _{k=0}^{n-1}(1-a{q}^k)=(1-a)(1-aq)(1-a{q}^2)\cdots (1-a{q}^{n-1})$

och

$(a;q{)}_0=1.$

Q-Pochhammersymbolen är väldigt viktig inom q-analogteori och q-serier.

Identiteter

q-Pochhammersymbolen kan skrivas som en oändlig produkt:

$(a;q{)}_n=\frac{(a;q{)}_{\mathrm{\infty }}}{(a{q}^n;q{)}_{\mathrm{\infty }}},$

och på det viset definieras för negativa heltal n. Om n är positiv är då

$(a;q{)}_{-n}=\frac{1}{(a{q}^{-n};q{)}_n}=\prod _{k=1}^n\frac{1}{(1-a/q^k)}$

och

$(a;q{)}_{-n}=\frac{(-q/a{)}^n{q}^{n(n-1)/2}}{(q/a;q{)}_n}.$

q-Pochhammersymbolen förekommer i flera q-serieidentiteter:

$(x;q{)}_{\mathrm{\infty }}=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n{q}^{n(n-1)/2}}{(q;q{)}_n}{x}^n$

och

$\frac{1}{(x;q{)}_{\mathrm{\infty }}}=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^n}{(q;q{)}_n}$,

som är båda specialfall av q-binomialsatsen:

$\frac{(ax;q{)}_{\mathrm{\infty }}}{(x;q{)}_{\mathrm{\infty }}}=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(a;q{)}_n}{(q;q{)}_n}{x}^n.$

Relation till partitioner

q-Pochhammersymbolen är nära relaterad till kombinatoriska teorin av partitioner. Koefficienten av $q^m{a}^n$ i

$(a;q{)}_{\mathrm{\infty }}^{-1}=\prod _{k=0}^{\mathrm{\infty }}(1-a{q}^k{)}^{-1}$

är antalet partitioner av m i högst n delar.

Eftersom, genom konjugering av partitioner, är detta samma antalet partitioner av m i delar som är högst n, får vi att genererande funktionerna är identiska:

$(a;q{)}_{\mathrm{\infty }}^{-1}=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\left(\prod _{j=1}^k\frac{1}{1-q^j}\right)a^k=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{a^k}{(q;q{)}_k}$

som i sektionen ovan.

Relation till andra q-funktioner

Eftersom

$\underset{q\to 1}{\lim }\frac{1-q^n}{1-q}=n$

kan q-analogin av n definieras som

$[n{]}_q=\frac{1-q^n}{1-q}.$

Med hjälp av det här går det att definiera q-analogin av fakulteten, q-fakulteten, som

$[n{]}_q!$	$=\prod _{k=1}^n[k{]}_q$
	$=[1{]}_q[2{]}_q\cdots [n-1{]}_q[n{]}_q$
	$=\frac{1-q}{1-q}\frac{1-q^2}{1-q}\cdots \frac{1-q^{n-1}}{1-q}\frac{1-q^n}{1-q}$
	$=1(1+q)\cdots (1+q+\cdots +q^{n-2})(1+q+\cdots +q^{n-1})$
	$=\frac{(q;q{)}_n}{(1-q{)}^n}.$

Med hjälp av q-fakulteten kan man definiera q-binomialkoefficienterna, även kända som Gaussiska koefficienterna, Gaussiska polynomen samt Gaussiska binomialkoefficienterna, som

${\left[\begin{array}{c}n\\ k\end{array}\right]}_q=\frac{[n{]}_q!}{[n-k{]}_q![k{]}_q!}.$

Man kan lätt kontrollera att

${\left[\begin{array}{c}n+1\\ k\end{array}\right]}_q={\left[\begin{array}{c}n\\ k\end{array}\right]}_q+q^{n-k+1}{\left[\begin{array}{c}n\\ k-1\end{array}\right]}_q.$

q-Analogin av gammafunktionen, q-gammafunktionen, definieras som

${\mathrm{\Gamma }}_q(x)=\frac{(1-q{)}^{1-x}(q;q{)}_{\mathrm{\infty }}}{(q^x;q{)}_{\mathrm{\infty }}}.$

Den satisfierar identiteterna

${\mathrm{\Gamma }}_q(x+1)=[x{]}_q{\mathrm{\Gamma }}_q(x)$

för alla x och

${\mathrm{\Gamma }}_q(n+1)=[n{]}_q!\frac{}{}.$

för alla icke-negativa heltal n.