q-gammafunktionen

Inom q-analogteori är q-gamma funktionen en generalisering av den vanliga Gammafunktionen. Den introducerades av F. H. Jackson. Dess definition är

${\mathrm{\Gamma }}_q(x)=(1-q{)}^{1-x}\prod _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1-q^{n+1}}{1-q^{n+x}}=(1-q{)}^{1-x}\frac{(q;q{)}_{\mathrm{\infty }}}{(q^x;q{)}_{\mathrm{\infty }}}$

då |q|<1, och

${\mathrm{\Gamma }}_q(x)=\frac{(q^{-1};q^{-1}{)}_{\mathrm{\infty }}}{(q^{-x};q^{-1}{)}_{\mathrm{\infty }}}(q-1{)}^{1-x}{q}^{(\genfrac{}{}{0ex}{}{x}{2})}$

då |q|>1. Här (·;·)_∞ är den oändliga q-Pochhammersymbolen. Den satisfierar

${\mathrm{\Gamma }}_q(x+1)=\frac{1-q^x}{1-q}{\mathrm{\Gamma }}_q(x)=[x{]}_q{\mathrm{\Gamma }}_q(x)$

För heltal större än0 är

${\mathrm{\Gamma }}_q(n)=[n-1{]}_q!$

där [·]_q! är q-fakulteten.

Grönsvärdet då q närmar sig 1

$\underset{q\to 1\pm }{\lim }{\mathrm{\Gamma }}_q(x)=\mathrm{\Gamma }(x).$

En q-analog av Stirlings formel för |q|<1 ges av

${\mathrm{\Gamma }}_q(x)=[2{]}_{q^{}}^{\frac{1}{2}}{\mathrm{\Gamma }}_{q^2}\left(\frac{1}{2}\right)(1-q{)}^{\frac{1}{2}-x}{e}^{\frac{\theta q^x}{1-q-q^x}},0<\theta <1.$

En q-analog av multiplikationsformeln för |q|<1 ges av

${\mathrm{\Gamma }}_{q^n}\left(\frac{x}{n}\right){\mathrm{\Gamma }}_{q^n}\left(\frac{x+1}{n}\right)\cdots {\mathrm{\Gamma }}_{q^n}\left(\frac{x+n-1}{n}\right)=[n{]}_q^{\frac{1}{2}-x}{([2{]}_q{\mathrm{\Gamma }}_{q^2}^2\left(\frac{1}{2}\right))}^{\frac{n-1}{2}}{\mathrm{\Gamma }}_q(x).$

En annan formel är

$\underset{0}{\overset{1}{\int }}\log {\mathrm{\Gamma }}_q(x)dx=\frac{\zeta (2)}{\log q}+\log \sqrt{\frac{q-1}{\sqrt[6]{q}}}+\log (q^{-1};q^{-1}{)}_{\mathrm{\infty }}(q>1).$

Relation till andra funktioner

Q-gammafunktionen är relaterad till Jacobis thetafunktioner enligt

${({\mathrm{\Gamma }}_{q^2}(x){\mathrm{\Gamma }}_{q^2}(1-x))}^{-1}=\frac{q^{2x(1-x)}}{(q^{-2};q^{-2}{)}_{\mathrm{\infty }}^3(q^2-1)}{\vartheta }_4(\frac{1}{2i}(1-2x)\log q,\frac{1}{q}).$

Källor

• Mall:Enwp