Dedekinds etafunktion

Dedekinds η-funktion i komplexa planet.

Inom matematiken är Dedekinds etafunktion, uppkallad efter Richard Dedekind, en viss modulär form av vikt 1/2. För komplexa tal τ med positiv imaginär del låtq = exp(2πiτ). Då definieras Dedekinds etafunktion som

$\eta (\tau )=e^{\frac{\pi \mathrm{i}\mathrm{\tau }}{12}}\prod _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(1-q^n).$

Etafunktionen är analytisk i övre planhalvan men kan inte fortsättas analytiskt utanför den.

Absoluta värdet av Eulers funktion i enhetsskivan sådan att svart = 0, röd = 4

Diskriminantens reella del som en funktion av q.

Etafunktionen satisfierar funktionalekvationerna

$\eta (\tau +1)=e^{\frac{\pi \mathrm{i}}{12}}\eta (\tau ),$

$\eta (-\frac{1}{\tau })=\sqrt{-\mathrm{i}\tau }\eta (\tau ).$

Mer generellt, antag att a, b, c, d är heltal med ad − bc = 1, sådana att

$\tau \mapsto \frac{a\tau +b}{c\tau +d}$

är en transformation i modulära gruppen. Vi kan anta att antingen c > 0 eller c = 0 och d = 1. Då är

$\eta \left(\frac{a\tau +b}{c\tau +d}\right)=ϵ(a,b,c,d)(c\tau +d{)}^{\frac{1}{2}}\eta (\tau ),$

där

$ϵ(a,b,c,d)=e^{\frac{b\mathrm{i}\pi }{12}}(c=0,d=1);$

$ϵ(a,b,c,d)=e^{\mathrm{i}\pi [\frac{a+d}{12c}-s(d,c)-\frac{1}{4}]}(c>0).$

Här betecknar $s(h,k)$ Dedekindsumman

$s(h,k)=\sum _{n=1}^{k-1}\frac{n}{k}(\frac{hn}{k}-\lfloor \frac{hn}{k}\rfloor -\frac{1}{2}).$

Speciella värden

$\eta (i)=\frac{\mathrm{\Gamma }\left(\frac{1}{4}\right)}{2{\pi }^{3/4}}$

$\eta \left(\frac{1}{2}i\right)=\frac{\mathrm{\Gamma }\left(\frac{1}{4}\right)}{2^{7/8}{\pi }^{3/4}}$

$\eta (2i)=\frac{\mathrm{\Gamma }\left(\frac{1}{4}\right)}{2^{11/8}{\pi }^{3/4}}$

$\eta (4i)=\frac{\sqrt[4]{-1+\sqrt{2}}\mathrm{\Gamma }\left(\frac{1}{4}\right)}{2^{29/16}{\pi }^{3/4}}$

Se även

• Chowla–Selbergs formel
• Weierstrass elliptiska funktion
• Heltalspartition
• Supersträngteori

Referenser

• Mall:Enwp

Källor

• Tom M. Apostol, Modular functions and Dirichlet Series in Number Theory (2 ed), Graduate Texts in Mathematics 41 (1990), Springer-Verlag, Mall:ISBN Se kapitel 3.
• Neil Koblitz, Introduction to Elliptic Curves and Modular Forms (2 ed), Graduate Texts in Mathematics 97 (1993), Springer-Verlag, Mall:ISBN