Dedekindsumma

En dedekindsumma är en slags summor som innehåller summor och produkter av sågtandskurvan.

Definition

Definiera sågtandsfunktionen $\left(\left(\right)\right):ℝ\to ℝ$ som

$((x))=\{\begin{array}{cc}x-\lfloor x\rfloor -1/2,& \text{om }x\in ℝ\setminus \mathbb{Z};\\ 0,& \text{om }x\in \mathbb{Z}.\end{array}$

Då definieras

$D(a,b;c)=\sum _{nmodc}\left(\right(\frac{an}{c}\left)\right)\left(\left(\frac{bn}{c}\right)\right)$

Då a=1 skrivs funktionen ofta som

s(b,c) = D(1,b;c).

Reciprocitetslagen

Om b och c är relativt prima heltal är

$s(b,c)+s(c,b)=\frac{1}{12}(\frac{b}{c}+\frac{1}{bc}+\frac{c}{b})-\frac{1}{4}.$

En generalisering av Hans Rademacher är följande: om a,b och c är parvis relativt prima är

$D(a,b;c)+D(b,c;a)+D(c,a;b)=\frac{1}{12}\frac{a^2+b^2+c^2}{abc}-\frac{1}{4}.$