Generaliserad hypergeometrisk funktion

Inom matematiken är en generaliserad hypergeometrisk serie en potensserie där kvoten av två konsekutiva koefficienter är en rationell funktion. Om serien konvergerar definierar den en generaliserad hypergeometrisk funktion. Många speciella funktioner kan skrivas som specialfall av generaliserade hypergeometriska funktionen.

Definition

Definiera Pochhammersymbolen:

$\begin{array}{cc}(a{)}_0& =1,\\ (a{)}_n& =a(a+1)(a+2)...(a+n-1),& & n\ge 1.\end{array}$

Då definieras generaliserade hypergeometriska funktionen som

${}_p{F}_q(a_1,\dots ,a_p;b_1,\dots ,b_q;z)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(a_1{)}_n\dots (a_p{)}_n}{(b_1{)}_n\dots (b_q{)}_n}\frac{z^n}{n!}.$

Specialfall

• Dilogaritmen:

${\mathrm{Li}}_2(x)=\sum _{n>0}{x}^n{n}^{-2}=x{}_3{F}_2(1,1,1;2,2;x)$

• Hahnpolynom:

$Q_n(x;a,b,N)={}_3{F}_2(-n,-x,n+a+b+1;a+1,-N+1;1)$

• Wilsonpolynom:

$p_n(t^2)=(a+b{)}_n(a+c{)}_n(a+d{)}_n{}_4{F}_3(\begin{array}{cccc}-n& a+b+c+d+n-1& a-t& a+t\\ a+b& a+c& a+d\end{array};1)$

• Laguerrepolynom

$L_n^{(\alpha )}(x)=\frac{(\alpha +1{)}_n}{n!}{}_1{F}_1(-n,\alpha +1,x)$

• Besselfunktionen:

$J_{\alpha }(x)=\frac{(\frac{x}{2}{)}^{\alpha }}{\mathrm{\Gamma }(\alpha +1)}{}_0{F}_1(;\alpha +1;-\frac{1}{4}{x}^2).$

Serien ₁F₀

Denna serie kan skrivas i sluten form som

${}_1{F}_0(a;;z)=(1-z{)}^{-a}.$

Differentialekvationen för denna funktion är

$\frac{d}{dz}w=(z\frac{d}{dz}+a)w,$

eller

$(1-z)\frac{dw}{dz}=aw$

vars alla lösningar ges av

$w=k(1-z{)}^{-a}$

där k är en konstant.

Serien ₀F₁

Funktioner av formen ${}_0{F}_1(;a;z)$ är relaterade till Besselfunktioner enligt formeln

$J_{\alpha }(x)=\frac{(\frac{x}{2}{)}^{\alpha }}{\mathrm{\Gamma }(\alpha +1)}{}_0{F}_1(;\alpha +1;-\frac{1}{4}{x}^2).$

Differentialekvationen för denna funktion är

$w=(z\frac{d}{dz}+a)\frac{dw}{dz}$

eller

$z\frac{d^{2}w}{d{z}^2}+a\frac{dw}{dz}-w=0.$

Serien ₂F₀

Denna serie förekommer i samband med exponentiella integralen Ei(z).

Serien ₃F₁

Denna serie förekommer i teorin för Besselfunktioner. Den kan användas till att beräkna värden på Besselfunktioner med stora argument.

Egenskaper

Eulers integraltransformation

Följande identitet är väldigt användbar:

${}_{A+1}{F}_{B+1}[\begin{array}{c}{a}_1,\dots ,a_A,c\\ b_1,\dots ,b_B,d\end{array};z]=\frac{\mathrm{\Gamma }(d)}{\mathrm{\Gamma }(c)\mathrm{\Gamma }(d-c)}\underset{0}{\overset{1}{\int }}{t}^{c-1}(1-t{)}_{}^{d-c-1}{}_A{F}_B[\begin{array}{c}{a}_1,\dots ,a_A\\ b_1,\dots ,b_B\end{array};tz]dt.$

Differentiering

Generaliserade hypergeometriska funktionen satisfierar

$\begin{array}{cc}(z\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}+a_j){}_p{F}_q[\begin{array}{c}{a}_1,\dots ,a_j,\dots ,a_p\\ b_1,\dots ,b_q\end{array};z]& =a_j{}_p{F}_q[\begin{array}{c}{a}_1,\dots ,a_j+1,\dots ,a_p\\ b_1,\dots ,b_q\end{array};z]\\ (z\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}+b_k-1){}_p{F}_q[\begin{array}{c}{a}_1,\dots ,a_p\\ b_1,\dots ,b_k,\dots ,b_q\end{array};z]& =(b_k-1){}_p{F}_q[\begin{array}{c}{a}_1,\dots ,a_p\\ b_1,\dots ,b_k-1,\dots ,b_q\end{array};z]\\ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}{}_p{F}_q[\begin{array}{c}{a}_1,\dots ,a_p\\ b_1,\dots ,b_q\end{array};z]& =\frac{\prod _{i=1}^p{a}_i}{\prod _{j=1}^q{b}_j}{}_p{F}_q[\begin{array}{c}{a}_1+1,\dots ,a_p+1\\ b_1+1,\dots ,b_q+1\end{array};z]\end{array}$

Genom att kombinera dessa får man följande differentialekvation satisfierad av w = _pF_q:

$z\prod _{n=1}^p(z\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}+a_n)w=z\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}\prod _{n=1}^q(z\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}+b_n-1)w.$

Identiteter

Saalschützs sats

${}_3{F}_2(a,b,-n;c,1+a+b-c-n;1)=\frac{(c-a{)}_n(c-b{)}_n}{(c{)}_n(c-a-b{)}_n}$

Dixons identitet

Dixons identitet ger summan av en viss ₃F₂-serie vid z=1:

${}_3{F}_2(a,b,c;1+a-b,1+a-c;1)=\frac{\mathrm{\Gamma }(1+\frac{a}{2})\mathrm{\Gamma }(1+\frac{a}{2}-b-c)\mathrm{\Gamma }(1+a-b)\mathrm{\Gamma }(1+a-c)}{\mathrm{\Gamma }(1+a)\mathrm{\Gamma }(1+a-b-c)\mathrm{\Gamma }(1+\frac{a}{2}-b)\mathrm{\Gamma }(1+\frac{a}{2}-c)}.$

Dougalls formel

Dougalls formel är formeln

$\begin{array}{cc}{}_7{F}_6& (\begin{array}{ccccccc}a& 1+\frac{a}{2}& b& c& d& e& -m\\ & \frac{a}{2}& 1+a-b& 1+a-c& 1+a-d& 1+a-e& 1+a+m\end{array};1)=\\ & =\frac{(1+a{)}_m(1+a-b-c{)}_m(1+a-c-d{)}_m(1+a-b-d{)}_m}{(1+a-b{)}_m(1+a-c{)}_m(1+a-d{)}_m(1+a-b-c-d{)}_m}\end{array}$

där m inte är ett icke-negativt heltal och

$1+2a=b+c+d+e-m.$

Många andra formler för speciella värden av hypergeometriska funktioner kan fås som specialfall av Dougalls formel.

Generaliseringar av Kummers transformationer och identiteter för ₂F₂

Identitet 1.

$e^{-x}{}_2{F}_2(a,1+d;c,d;x)={}_2{F}_2(c-a-1,f+1;c,f;-x)$

där

$f=\frac{d(a-c+1)}{a-d}.$

Identitet 2.

$e^{-\frac{x}{2}}{}_2{F}_2(a,1+b;2a+1,b;x)={}_0{F}_1(;a+\frac{1}{2};\frac{x^2}{16})-\frac{x(1-\frac{2a}{b})}{2(2a+1)}{}_0{F}_1(;a+\frac{3}{2};\frac{x^2}{16})$

som relaterar Besselfunktioner till ₂F₂; det här reducerar sig till Kummers andra formel för b = 2a:

Identitet 3.

$e^{-\frac{x}{2}}{}_1{F}_1(a,2a,x)={}_0{F}_1(;a+\frac{1}{2};\frac{x^2}{16})$.

Identitet 4.

$\begin{array}{cc}{}_2{F}_2(a,b;c,d;x)=& \sum _{i=0}\frac{(\genfrac{}{}{0ex}{}{b-d}{i})(\genfrac{}{}{0ex}{}{a+i-1}{i})}{(\genfrac{}{}{0ex}{}{c+i-1}{i})(\genfrac{}{}{0ex}{}{d+i-1}{i})}{}_1{F}_1(a+i;c+i;x)\frac{x^i}{i!}\\ =& e^x\sum _{i=0}\frac{(\genfrac{}{}{0ex}{}{b-d}{i})(\genfrac{}{}{0ex}{}{a+i-1}{i})}{(\genfrac{}{}{0ex}{}{c+i-1}{i})(\genfrac{}{}{0ex}{}{d+i-1}{i})}{}_1{F}_1(c-a;c+i;-x)\frac{x^i}{i!}\end{array}$

som är en ändlig summa om b-d är ett icke-negativt heltal.

Kummers relation

Kummers relation är

${}_2{F}_1(2a,2b;a+b+\frac{1}{2};x)={}_2{F}_1(a,b;a+b+\frac{1}{2};4x(1-x)).$

Clausens formel

Clausens formel

${}_3{F}_2(2c-2s-1,2s,c-\frac{1}{2};2c-1,c;x)={}_2{F}_1(c-s-\frac{1}{2},s;c;x{)}^2$

användes av de Branges till att bevisa Bieberbachförmodan.

Generaliseringar

Bilaterala hypergeometriska serier är en generalisering av hypergeometriska serier där summan är över alla heltal, inte bara de positiva.

Fox–Wrights funktion är en generalisering av generaliserade hypergeometriska funktionen där Pochhammersymbolerna i serien ersätts med gammafunktioner av linjära polynom av n.

Källor

• Mall:Enwp
• Mall:Dlmf
• Mall:Bokref
• Mall:Bokref
• Mall:Tidskriftsref
• Mall:Tidskriftsref
• Mall:Bokref (the first edition has Mall:ISBN)
• Mall:Tidskriftsref (a reprint of this paper can be found in Carl Friedrich Gauss, Werke, p. 125)
• Mall:Bokref (part 1 treats hypergeometric functions on Lie groups)
• Mall:Tidskriftsref
• Mall:Tidskriftsref
• Mall:Tidskriftsref
• Mall:Tidskriftsref
• Mall:Tidskriftsref
• Mall:Tidskriftsref
• Mall:Bokref (there is a 2008 paperback with Mall:ISBN)
• Mall:Bokref