Hypergeometriska funktionen

Hypergeometriska funktionen ₂F₁(a,b;c;z) är en väldigt viktig speciell funktion som har flera andra speciella funktioner som specialfall.

Historia

Termen "hypergeometrisk serie" användes först av John Wallis 1655 i hans bok Arithmetica Infinitorum.

Hypergeometriska serier undersöktes av Leonhard Euler, men den första systematiska studien utfördes av Carl Friedrich Gauss 1813.

På 1800-talet undersökte även Ernst Kummer (1836) och Bernhard Riemann (1857) hypergeometriska serier. Riemann karakteriserade hypergeoemtriska funktionen med hjälp av en differentialekvation som den satisfierar.

Definition

Hypergeometriska funktionen definieras för |z| < 1 som serien

${}_2{F}_1(a,b;c;z)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(a{)}_n(b{)}_n}{(c{)}_n}\frac{z^n}{n!}.$

Den är odefinierad om c är ett icke-positivt heltal. Här är (x)_n Pochhammersymbolen

$(x{)}_n=\{\begin{array}{cc}1& n=0\\ x(x+1)\cdots (x+n-1)& n>0.\end{array}$

Specialfall

Ett stort antal matematiska funktioner kan uttryckas med hjälp av hypergeometriska funktionen. Några typiska exempel är

$\begin{array}{cc}\ln (1+z)& =z{}_2{F}_1(1,1;2;-z)\\ (1-z{)}^{-a}& ={}_2{F}_1(a,1;1;z)\\ \arcsin (z)& =z{}_2{F}_1(\frac{1}{2},\frac{1}{2};\frac{3}{2};z^2).\end{array}$

Legendrepolynomen är också specialfall:

${}_2{F}_1(a,1-a;c;z)=\mathrm{\Gamma }(c)z^{\frac{1-c}{2}}(1-z{)}^{\frac{c-1}{2}}{P}_{-a}^{1-c}(1-2z).$

Meixner–Pollaczekpolynomen:

$P_n^{(\lambda )}(x;\varphi )=\frac{(2\lambda {)}_n}{n!}{e}^{in\varphi }{}_2{F}_1(-n,\lambda +ix;2\lambda ;1-e^{-2i\varphi }).$

Flera viktiga ortogonala polynom, såsom Jacobipolynomen, kan också skrivas med hjälp av hypergeometriska funktionen:

${}_2{F}_1(-n,\alpha +1+\beta +n;\alpha +1;x)=\frac{n!}{(\alpha +1{)}_n}{P}_n^{(\alpha ,\beta )}(1-2x).$

Ofullständiga betafunktionen B_x(p,q):

$B_x(p,q)=\frac{x^p}{p}{}_2{F}_1(p,1-q;p+1;x)$

Elliptiska integraler:

$K(k)=\frac{\pi }{2}{}_2{F}_1(\frac{1}{2},\frac{1}{2};1;k^2)$

$E(k)=\frac{\pi }{2}{}_2{F}_1(-\frac{1}{2},\frac{1}{2};1;k^2).$

Elliptiska modulära funktioner kan ibland uttryckas som inversa funktionen till ett kvot av hypergeometriska funktioner vars argument a, b, c är 1, 1/2, 1/3, ... eller 0. Exempelvis om

$\tau =\mathrm{i}\frac{{}_2{F}_1(\frac{1}{2},\frac{1}{2};1;1-z)}{{}_2{F}_1(\frac{1}{2},\frac{1}{2};1;z)}$

är

$z={\kappa }^2(\tau )=\frac{{\theta }_2(\tau {)}^4}{{\theta }_3(\tau {)}^4}$

en elliptisk modulär funktion av τ.

Vissa elementära funktioner är gränsvärden av hypergeometriska funktionen:

$e^x=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }F(1,n;1;\frac{x}{n})$

$\cos x=\underset{a,b\to \mathrm{\infty }}{\lim }F(a,b;\frac{1}{2};-\frac{x^2}{4ab})$

$\cosh x=\underset{a,b\to \mathrm{\infty }}{\lim }F(a,b;\frac{1}{2};\frac{x^2}{4ab})$

Integralformler

Om B är betafunktionen är

$\mathrm{B}(b,c-b){}_2{F}_1(a,b;c;z)=\underset{0}{\overset{1}{\int }}{x}^{b-1}(1-x{)}^{c-b-1}(1-zx{)}^{-a}dx\mathrm{\Re }(c)>\mathrm{\Re }(b)>0$

om |z| < 1 eller |z| = 1 och båda membrum konvergerar. Formeln kan bevisas genom att utveckla (1 − zx)^−a i en serie med binomialsatsen och integrera termvis. Formeln upptäcktes av Euler 1748.

Transformationer

Eulers transformation är

${}_2{F}_1(a,b;c;z)=(1-z{)}^{c-a-b}{}_2{F}_1(c-a,c-b;c;z)$

som följer genom att kombinera Ptaffs transformationer

${}_2{F}_1(a,b;c;z)=(1-z{)}^{-b}{}_2{F}_1(b,c-a;c;\frac{z}{z-1})$

${}_2{F}_1(a,b;c;z)=(1-z{)}^{-a}{}_2{F}_1(a,c-b;c;\frac{z}{z-1})$

som igen följer ur Eulers integralrepresentation.

En kvadratisk transformation är

$F(a,b;2b;z)=(1-z{)}^{-\frac{a}{2}}F(\frac{1}{2}a,b-\frac{1}{2}a;b+\frac{1}{2};\frac{z^2}{4z-4}).$

En kubisk transformation är

$F(\frac{3}{2}a,\frac{1}{2}(3a-1);a+\frac{1}{2};-\frac{z^2}{3})=(1+z{)}^{1-3a}F(a-\frac{1}{3},a,2a,2z(3+z^2)(1+z{)}^{-3}).$

Värden vid speciella punkter

Gauss sats är

${}_2{F}_1(a,b;c;1)=\frac{\mathrm{\Gamma }(c)\mathrm{\Gamma }(c-a-b)}{\mathrm{\Gamma }(c-a)\mathrm{\Gamma }(c-b)},\mathrm{\Re }(c)>\mathrm{\Re }(a+b)$

som följer genom att sätta z = 1 i Eulers integralrepresentation.

Kummers sats är

${}_2{F}_1(a,b;1+a-b;-1)=\frac{\mathrm{\Gamma }(1+a-b)\mathrm{\Gamma }(1+\frac{1}{2}a)}{\mathrm{\Gamma }(1+a)\mathrm{\Gamma }(1+\frac{1}{2}a-b)}$

som följer ur Kummers kvadratiska transformationer

$\begin{array}{cc}{}_2{F}_1(a,b;1+a-b;z)& =(1-z{)}^{-a}{}_2{F}_1(\frac{a}{2},\frac{1+a}{2}-b;1+a-b;-\frac{4z}{(1-z{)}^2})\\ & =(1+z{)}^{-a}{}_2{F}_1(\frac{a}{2},\frac{a+1}{2};1+a-b;\frac{4z}{(1+z{)}^2})\end{array}$

och Gauss sats genom att sätta z = −1 i första identiteten.

Gauss andra sats är

${}_2{F}_1(a,b;\frac{1}{2}(1+a+b);\frac{1}{2})=\frac{\mathrm{\Gamma }(\frac{1}{2})\mathrm{\Gamma }(\frac{1}{2}(1+a+b))}{\mathrm{\Gamma }(\frac{1}{2}(1+a))\mathrm{\Gamma }(\frac{1}{2}(1+b))}.$

Baileys sats är

${}_2{F}_1(a,1-a;c;\frac{1}{2})=\frac{\mathrm{\Gamma }(\frac{1}{2}c)\mathrm{\Gamma }(\frac{1}{2}(1+c))}{\mathrm{\Gamma }(\frac{1}{2}(c+a))\mathrm{\Gamma }(\frac{1}{2}(1+c-a))}.$

Identiteter

$27(z-1{)}^2\cdot {}_2{F}_1{(\frac{1}{4},\frac{3}{4};\frac{2}{3};z)}^8+18(z-1)\cdot {}_2{F}_1{(\frac{1}{4},\frac{3}{4};\frac{2}{3};z)}^4-8\cdot {}_2{F}_1{(\frac{1}{4},\frac{3}{4};\frac{2}{3};z)}^2=1$

Ett intressant specialfall av identiteten ovan är följande:

${}_2{F}_1(\frac{1}{4},\frac{3}{4};\frac{2}{3};\frac{1}{3})=\frac{1}{\sqrt{\sqrt{\frac{4}{\sqrt{2-\sqrt[3]{4}}}+\sqrt[3]{4}+4}-\sqrt{2-\sqrt[3]{4}}-2}}.$

Gauss kedjebråk

Gauss kedjebråk är

$\frac{{}_2{F}_1(a+1,b;c+1;z)}{{}_2{F}_1(a,b;c;z)}=\frac{1}{1+\frac{\frac{(a-c)b}{c(c+1)}z}{1+\frac{\frac{(b-c-1)(a+1)}{(c+1)(c+2)}z}{1+\frac{\frac{(a-c-1)(b+1)}{(c+2)(c+3)}z}{1+\frac{\frac{(b-c-2)(a+2)}{(c+3)(c+4)}z}{1+\ddots }}}}}$