Betafunktionen

Betafunktionen är en speciell funktion som definieras som

$\mathrm{B}(x,y)=\underset{0}{\overset{1}{\int }}{t}^{x-1}(1-t{)}^{y-1}dt$

om $\text{Re}(x),\text{Re}(y)>0.$. Funktionen har studerats av Euler och Legendre.

Egenskaper

Betafunktionen är symmetrisk:

$\mathrm{B}(x,y)=\mathrm{B}(y,x).$

Den kan skrivas på flera ekvivalenta sätt:

$\mathrm{B}(x,y)=\frac{\mathrm{\Gamma }(x)\mathrm{\Gamma }(y)}{\mathrm{\Gamma }(x+y)}$

$\mathrm{B}(x,y)=2\underset{0}{\overset{\pi /2}{\int }}(\sin \theta {)}^{2x-1}(\cos \theta {)}^{2y-1}d\theta ,\mathrm{R}\mathrm{e}(x)>0,\mathrm{R}\mathrm{e}(y)>0$

$\mathrm{B}(x,y)=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{t^{x-1}}{(1+t{)}^{x+y}}dt,\mathrm{R}\mathrm{e}(x)>0,\mathrm{R}\mathrm{e}(y)>0$

$\mathrm{B}(x,y)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(\genfrac{}{}{0ex}{}{n-y}{n})}{x+n},$

$\mathrm{B}(x,y)=\frac{1}{y}\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^n\frac{y^{n+1}}{n!(x+n)}$

$\mathrm{B}(x,y)=\frac{x+y}{xy}\prod _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{(1+\frac{xy}{n(x+y+n)})}^{-1}$.

Betafunktionen har flera intressanta egenskaper såsom:

$\mathrm{B}(x,y+1)=\frac{y}{x+y}\mathrm{B}(x,y)$

$\mathrm{B}(x,y)=\mathrm{B}(x,y+1)+\mathrm{B}(x+1,y)$

$\mathrm{B}(x,y)\cdot \mathrm{B}(x+y,1-y)=\frac{\pi }{x\sin (\pi y)}$

$\mathrm{B}(x,x)=2^{1-2x}B(\frac{1}{2},x).$

Tillväxt

För stora värden på x och y ger Stirlings formel

$\mathrm{B}(x,y)\sim \sqrt{2\pi }\frac{x^{x-\frac{1}{2}}{y}^{y-\frac{1}{2}}}{{\left(x+y\right)}^{x+y-\frac{1}{2}}}$

Om däremot x är stort och y fixerat är

$\mathrm{B}(x,y)\sim \mathrm{\Gamma }(y)x^{-y}.$

Derivata

Betafunktionens derivata är

$\frac{\partial }{\partial x}\mathrm{B}(x,y)=\mathrm{B}(x,y)(\frac{{\mathrm{\Gamma }}^{\prime }(x)}{\mathrm{\Gamma }(x)}-\frac{{\mathrm{\Gamma }}^{\prime }(x+y)}{\mathrm{\Gamma }(x+y)})=\mathrm{B}(x,y)(\psi (x)-\psi (x+y)),$

där $\psi (x)$ är digammafunktionen.

Ofullständiga betafunktionen

Ofullständiga betafunktionen definieras som

$\mathrm{B}(x;a,b)=\underset{0}{\overset{x}{\int }}{t}^{a-1}(1-t{)}^{b-1}dt.$

Då x = 1 blir den den ordinära betafunktionen.

Den regulariserade ofullständiga betafunktionen definieras som

$I_x(a,b)=\frac{\mathrm{B}(x;a,b)}{\mathrm{B}(a,b)}.$

För heltal a och b får man med partialintegration

$I_x(a,b)=\sum _{j=a}^{a+b-1}(\genfrac{}{}{0ex}{}{a+b-1}{j})x^j(1-x{)}^{a+b-1-j}.$

Egenskaper

$I_0(a,b)=0$

$I_1(a,b)=1$

$I_x(a,b)=1-I_{1-x}(b,a)$

$I_x(a+1,b)=I_x(a,b)-\frac{x^a(1-x{)}^b}{aB(a,b)}$.

Referenser

Källor

• Mall:Citation
• Mall:Citation
• Mall:Citation

Externa länkar

• Mall:Commonscat