Tätpunkt

Tätpunkt är ett begrepp inom måtteori. Tätpunkter är punkter som har mycket "massa" i sin omgivning.

Formell definition

Låt $(X,ℱ,\mu ,d)$ vara ett metriskt måttrum så att måttet $\mu$ är Borel. För $A\in ℱ$ och $x\in X$ beteckna A:s yttre täthet i x som

${\bar{\mathrm{\Theta }}}_{\mu }(A,x):=\underset{r\downarrow 0}{\mathrm{lim\; sup}}\frac{\mu (A\cap B_r(x))}{\mu (B_r(x))},$

och A:s inre täthet i x som

${\underset{\_}{\mathrm{\Theta }}}_{\mu }(A,x):=\underset{r\downarrow 0}{\mathrm{lim\; inf}}\frac{\mu (A\cap B_r(x))}{\mu (B_r(x))}.$

där $B_r(x)$ är en boll med avseende på metriken $d$.

Mängden A har en täthet i x om

${\mathrm{\Theta }}_{\mu }(A,x):={\underset{\_}{\mathrm{\Theta }}}_{\mu }(A,x)={\bar{\mathrm{\Theta }}}_{\mu }(A,x).$

En punkt $x\in X$ är en tätpunkt om

$\mathrm{\exists }{\mathrm{\Theta }}_{\mu }(A,x)=1.$

Motivationen för talet 1 ovan är att till exempel med Lebesguemåttet är tätheten

$0\le {\mathrm{\Theta }}_{{ℒ}_n}(A,z)\le 1,$

för alla $z\in {ℝ}^n$.

Tillämpningar

• En måtteoretisk rand är definierad med hjälp av tätpunkter.

• Lebesgues tätpunktsats säger att nästan alla punkter i en Lebesguemätbar mängd är tätpunkter.

s-dimensionella tätpunkter

Om $(X,d)$ är ett separabelt metriskt rum och $s\ge 0$ är för $A\in \text{Bor}X$ och $x\in X$ A:s s-dimensionella yttre täthet i x

$\stackrel{s}{\stackrel{‾}{\mathrm{\Theta }}}(A,x):=\underset{r\downarrow 0}{\mathrm{lim\; sup}}\frac{{\mathscr{H}}^s(A\cap B_r(x))}{r^s},$

och A:s inre täthet i x

${\underset{\_}{\mathrm{\Theta }}}^s(A,x):=\underset{r\downarrow 0}{\mathrm{lim\; inf}}\frac{{\mathscr{H}}^s(A\cap B_r(x))}{r^s},$

där ${\mathscr{H}}^s$ är s-dimensionellt Hausdorffmåttet.

Mängden A har en s-dimensionell täthet i x om

${\mathrm{\Theta }}^s(A,x):={\underset{\_}{\mathrm{\Theta }}}^s(A,x)=\stackrel{s}{\stackrel{‾}{\mathrm{\Theta }}}(A,x).$

En punkt $x\in X$ är en s-dimensionell tätpunkt för A om

$\mathrm{\exists }{\mathrm{\Theta }}^s(A,x)=1.$

Om $X={ℝ}^n$ och $s=n$ är

${\mathrm{\Theta }}^n={\mathrm{\Theta }}_{{\mathscr{H}}^n}.$

Å andra sidan när $s\ne n$ finns det många Borelmängder A och punkter x när

${\mathrm{\Theta }}^s(A,x)\ne {\mathrm{\Theta }}_{{\mathscr{H}}^s}(A,x),$

eftersom

${\mathscr{H}}^s(B_r(x))=\{\begin{array}{cc}+\mathrm{\infty }& \text{om }s<n\\ 0& \text{om }s>n\end{array},$

d.v.s. Hausdorffdimensionen för $B_r(x)$ är n.

s-dimensionella tätpunkter har tillämpningar i geometrisk måtteori.

Se även

• Måtteori

Referenser

• Kaimanovich, V. "Measure-theoretic boundaries of Markov chains, 0-2 laws and entropy", Proc. Harmonic Analysis and Discrete Potential Theory, 1991