Borelmått

Ett Borelmått är inom matematik ett mått så att alla Borelmängder är mätbara, uppkallat efter franske matematikern Émile Borel.

Formell definition

Låt $(X,𝒯)$ vara ett topologiskt rum och $ℱ$ en sigma-algebra i X. Då är ett mått

$\mu :ℱ\to [0,\mathrm{\infty }]$

Borel om alla Borelmängder är mätbara. Mer precist,

$\text{Bor}X:=\sigma (𝒯)\subset ℱ.$

Borel yttre mått

Låt $(X,𝒯)$ vara ett topologiskt rum, då ett yttre mått ${\mu }^{*}$ är Borel om alla Borelmängder är ${\mu }^{*}$-mätbara:

$\text{Bor}X:=\sigma (𝒯)\subset {ℳ}_{{\mu }^{*}}(X).$

Om X är ett metriskt rum så är ett yttre mått Borel om och endast om det är metriskt yttre mått.

Konstruktion för vissa Borel yttre mått

Huvudartikel: Carathéodorys konstruktion.

I ett metriskt rum kan man alltid konstruera ett naturligt Borel yttre mått med hjälp av den metriska strukturen. Den här konstruktionen är viktig eftersom vi kan konstruera den i alla metriska rum.

Exempel

Lebesguemåttet, Yttre Lebesguemåttet, Hausdorffmåttet och Yttre Hausdorfmåttet är Borel.

Se även

• Mått
• Yttre mått