Sigma-algebra

Mall:Källor En σ-algebra (sigma-algebra) är ett matematiskt objekt som är av central betydelse för studier inom måtteori och integrationsteori.

Syftet med en sigma-algebra är att beskriva vilka delar av en given mängd X som går att mäta. En ofta använd strategi att lösa problem eller lära sig hur ett föremål är beskaffat, är att splittra upp det i mindre beståndsdelar för att därefter studera dessa separat. Det går det inte att splittra upp ett objekt i vilka delar som helst, utan dessa måste se ut på ett visst sätt. Den matematiska motsvarigheten till det sätt på vilket ett objekt får splittras, är en sigma-algebra. Genom att utesluta vissa "mycket konstiga" delmängder av X erhålls en sigma-algebra som är mycket lättare att hantera.

Formell beskrivning

En σ-algebra (sigma-algebra) över en mängd X är en familj $𝒜$ av delmängder av X som är sådan att

• $𝒜$ är icke-tom: $X\in 𝒜$
• $𝒜$ är sluten under komplementsbildning: $E\in 𝒜\Rightarrow X\setminus E\in 𝒜$.
• $𝒜$ är sluten under uppräkneliga unioner. Det innebär att om mängderna $\{U_i{\}}_{i=1}^{\mathrm{\infty }}$ tillhör $𝒜$, är deras union $\underset{i=1}{\overset{\mathrm{\infty }}{\cup }}{U}_i$ också ett element i $𝒜$.

Om $𝒜$ är en sigma-algebra i X kallas ofta paret $(X,𝒜)$ ett mätbart rum.

En viktig detalj att notera är att elementen i en sigma-algebra på X utgörs av delmängder till X, inte punkter i X.

Om vi exempelvis låter X vara två-punkts mängden X = { 0, 1 }, så kan en sigma-algebra på X vara familjen { Ø, X }; I denna sigma-algebra är mängden X ett element.

Snitt och unioner av sigma-algebror

Låt $A$ och $B$ vara två sigma-algebror på mängden X.

• Snittet $A\cap B$ är också en sigma-algebra på X. Den är en del-sigma-algebra av både $A$ och $B$.
• Unionen $A\cup B$ är inte nödvändigtvis en sigma-algebra på X.

Följande exempel visar att familjen $A\cup B$ inte behöver vara en sigma-algebra, bara för att familjerna $A$ och $B$ är det.

Tag mängden X = {0,1,2} och de två sigma-algebrorna A = { Ø, X, {0}, {1,2} } samt B = { Ø, X, {1}, {0,2} }. Unionen av dessa sigma-algebror är familjen

$A\cup B=\{\mathrm{\varnothing },X,\{0\},\{1\},\{1,2\},\{0,2\}\}.$

Om detta vore en sigma-algebra så skulle unionen, {0,1}, av mängderna {0} och {1} vara ett element i familjen $A\cup B$.

Sigma-algebra genererad av familj av delmängder

Låt C vara en godtycklig familj av delmängder till en mängd X. Det finns sigma-algebror, $F_i$, av olika storlekar som har familjen C som en del av sig:

$C\subseteq F_i.$

Den minsta av dessa sigma-algebror kallas sigma-algebran genererad av familjen C och betecknas $\sigma (C)$; den är definierad som snittet av alla sigma-algebror som omfattar C:

$\sigma (C)=\bigcap _i{F}_i.$

Exempel: Borel sigma-algebra

Ett exempel på en sigma-algebra som är genererad av en familj av delmängder ges av ett topologiskt rum (X,T): Objektet T är en familj av delmängder till X som besitter vissa egenskaper; för detaljer se artikeln Topologiskt rum. Sigma-algebran, σ(T), genererad av denna familj kallas Borel sigma-algebran på X.

Exempel: Produkt sigma-algebra

Låt $(X,F)$ och $(Y,G)$ vara två mätbara rum. På den cartesiska produkten $X\times Y$ skall en sigma-algebra konstrueras baserad på de tillgängliga sigma-algebrorna $F$ och $G$.

En första tanke kanske är att bilda familjen $M$ bestående av alla produkter $A\times B$, där A är ett element i F och B ett element i G:

$F\times G=\{A\times B:A\in F,B\in G\}$

Denna familj behöver inte vara en sigma-algebra på $X\times Y$ bara för att F är en sigma-algebra på X och G är en sigma-algebra på Y, vilket följande exempel visar.

Låt $F$ = { Ø, X } vara den triviala sigma-algebran på X och $G$ = { Ø, Y } den triviala sigma-algebran på Y. Produkten av dessa familjer är familjen

$F\times G=\{\mathrm{\varnothing }\times \mathrm{\varnothing },\mathrm{\varnothing }\times Y,X\times \mathrm{\varnothing },X\times Y\}.$

Om vi tar de två elementen $A=\mathrm{\varnothing }\times Y$ och $B=X\times \mathrm{\varnothing }$, så måste deras union

$A\cup B=\{\mathrm{\varnothing }\times Y,X\times \mathrm{\varnothing }\}$

vara ett element i familjen om denna är en sigma-algebra på den cartesiska produkten $X\times Y$.

Den korrekta definitionen av produkt-σ-algebran på $X\times Y$ är som den minsta sigma-algebra som innehåller familjen $F\times G$ ovan; den vanligast förekommande beteckningen för denna är $F\otimes G=\sigma (F\times G).$

Sigma-algebra genererad av en avbildning

Låt $f:X⟶Y$ vara en avbildning från det mätbara rummet $(X,ℱ)$ till det mätbara rummet $(Y,𝒢)$. Detta innebär att familjen $f^{-1}(𝒢)$ är en delfamilj av sigma-algebran $ℱ$. Elementen i denna familj ser ut på följande sätt:

$f^{-1}(G)=\{x\in X:f(x)\in G\},G\in 𝒢.$

De utgör en sigma-algebra på mängden X – faktum är att detta är den minsta sigma-algebra på X som gör f till en mätbar avbildning.

Man kallar den för sigma-algebran genererad av avbildningen f och skriver σ(f):

$\sigma (f)=f^{-1}(𝒢).$

Sigma-algebra genererad av flera avbildningar

Låt $f:X⟶Y$ och $g:X⟶Y$ vara två avbildningar från det mätbara rummet $(X,ℱ)$ till det mätbara rummet $(Y,𝒢)$.

Unionen $f^{-1}(𝒢)\cup g^{-1}(𝒢)$ av det två sigma-algebrorna $f^{-1}(𝒢)$ och $g^{-1}(𝒢)$ är inte nödvändigtvis själv en sigma-algebra på $X$; det är däremot sigma-algebran

$\sigma (f^{-1}(𝒢)\cup g^{-1}(𝒢))$.

Detta är den minsta sigma-algebra på X som gör både f och g till mätbara avbildningar. Man kallar detta för sigma-algebran genererad av avbildningarna f och g, och skriver

$\sigma (f,g)$.

På samma sätt som ovan definierar man sigma-algebran $\sigma (f_i:i\in I)$ genererad av avbildningar $f_i:X⟶Y$ från det mätbara rummet $(X,ℱ)$ till det mätbara rummet $(Y,𝒢)$.

Doob-Dynkins lemma

Låt f och g vara två avbildningar från det mätbara rummet $(X,ℱ)$ till det mätbara rummet $(Y,𝒢)$:

$f,g:X⟶Y.$

Avbildningen g är mätbar med avseende på sigma-algebran genererad av f om, och endast om, det finns en mätbar avbildning F som "sammanbinder" avbildningarna f och g:

$g=F\circ f,F:Y⟶Y.$

Skrivet på "matematiska":

$g\in \sigma (f)⟺\mathrm{\exists }F:g=F\circ f.$

Bevis av Doob-Dynkins lemma

Antag att avbildningen g är mätbar med avseende på sigma-algebran genererad av avbildningen f:

$g^{-1}(𝒢)\subseteq f^{-1}(𝒢).$

Varje element $A\in 𝒢$ motsvaras då av ett element $B_A\in 𝒢$ som är sådant att

$g^{-1}(A)=f^{-1}(B_A).$

Denna association definierar en mätbar avbildning, $F:Y⟶Y$ på mängden Y:

$F^{-1}(A)=B_A,A\in 𝒢.$

Denna avbildning "sammanbinder" de två avbildningarna f och g:

$g^{-1}(A)=f^{-1}(F^{-1}(A))=(F\circ f{)}^{-1}(A),A\in 𝒢.$