Separabelt rum

Mall:Källor Inom matematiken kallas ett topologiskt rum separabelt om det har en uppräknelig tät delmängd.

Exempel

• Den reella tallinjen $ℝ$ utrustad med sin vanliga topologi är separabel , eftersom den har mängden av rationella tal som en uppräknelig tät delmängd.

• Utrustas däremot den reella tallinjen $ℝ$ med en topologi bestående av den tomma mängden och alla mängder vars komplement består av ändliga mängder kommer $ℝ$ inte längre vara separabelt.

Egenskaper

• Ett delrum av ett separabelt rum behöver inte vara separabelt, men alla öppna delrum av ett separabelt rum är separabelt. Varje delrum av ett separabelt metriskt rum är separabelt..
• Varje topologiskt rum är ett delrum av ett separabelt rum med samma kardinalitet.
• Om X är ett separabelt rum som har ett överuppräkneligt slutet diskret delrum kan X inte vara normalt.
• För ett kompakt Hausdorffrum X är följande ekvivalenta:

(i) Rummet $𝒞(X,ℝ)$ av kontinuerliga reellvärda funktioner över X med supremumnormen är separabelt.

(ii) X är metriserbart.