Måtteoretisk rand

Måtteoretiska randen för en mängd A är inom matematiken den mängd som innehåller alla punkter som är A:s och A:s komplements tätpunkter.

Tätpunkter

Huvudartikel: Tätpunkt

Låt $(X,ℱ,\mu ,d)$ vara ett metriskt måttrum så att måttet $\mu$ är Borel. För $A\in ℱ$ och $x\in X$ beteckna A:s yttre täthet i x

${\mathrm{\Theta }}_{\mu }^{*}(A,x):=\underset{r\downarrow 0}{\mathrm{lim\; sup}}\frac{\mu (A\cap B_r(x))}{\mu (B_r(x))},$

och A:s inre täthet i x

${\mathrm{\Theta }}_{\mu *}(A,x):=\underset{r\downarrow 0}{\mathrm{lim\; inf}}\frac{\mu (A\cap B_r(x))}{\mu (B_r(x))}.$

där $B_r(x)$ är en boll med avseende på metriken $d$.

Mängden A har en täthet i x om

${\mathrm{\Theta }}_{\mu }(A,x):={\mathrm{\Theta }}_{\mu }^{*}(A,x)={\mathrm{\Theta }}_{\mu *}(A,x).$

En punkt $x\in X$ är en tätpunkt om

$\mathrm{\exists }{\mathrm{\Theta }}_{\mu }(A,x)=1.$

Formell definition

Låt $(X,ℱ,\mu ,d)$ vara ett metriskt måttrum vars mått är Borel och $A\in ℱ$. Beteckna

${\partial }_{\mu }A:=\{x\in X:{\mathrm{\Theta }}_{\mu }^{*}(A,x)>0,{\mathrm{\Theta }}_{\mu }^{*}(X\setminus A,x)>0\}.$

Då ${\partial }_{\mu }A$, kallas måtteoretiska randen, som är en mängd vars element är tätpunkterna till A och A:s komplement.

Egenskaper

Måtteoretiska randen är en mätbar mängd, men inte nödvändigtvis en rand för A. Till exempel, om

$(X,ℱ,\mu ,d)=(ℝ,\text{Bor}ℝ,{ℒ}_1,|\cdot -\cdot |)$

är randen

$\partial \mathbb{Q}=ℝ.$

Å andra sidan är måtteoretiska randen

${\partial }_{{ℒ}_1}\mathbb{Q}=\varnothing ,$

eftersom

${\mathrm{\Theta }}_{{ℒ}_1}(\mathbb{Q},x)=0\ne 1={\mathrm{\Theta }}_{{ℒ}_1}(ℝ\setminus \mathbb{Q},x)$

för alla $x\in ℝ$.

Den måtteoretiska randen beror på måttet. Till exempel om måttet $\mu$ är räknemåttet är

${\partial }_{\mu }\mathbb{Q}=ℝ=\partial \mathbb{Q}.$

Se även

• Måtteori

Referenser

• Kaimanovich, V. "Measure-theoretic boundaries of Markov chains, 0-2 laws and entropy", Proc. Harmonic Analysis and Discrete Potential Theory, 1991