Rotkriteriet

Rotkriteriet är en matematisk sats inom matematisk analys som ger ett villkor för att en serie ska konvergera.

Låt $\{a_k{\}}_{k=0}^{\mathrm{\infty }}$ vara en talföljd. Då säger rotkriteriet att serien

$\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_k$

är absolutkonvergent, och därmed konvergent, om

$\underset{k\to \mathrm{\infty }}{\lim }{\left|a_k\right|}^{\frac{1}{k}}<1$

och att serien är divergent om

$\underset{k\to \mathrm{\infty }}{\lim }{\left|a_k\right|}^{\frac{1}{k}}>1$.

Notera att satsen inte säger något om fallet

$\underset{k\to \mathrm{\infty }}{\lim }{\left|a_k\right|}^{\frac{1}{k}}=1$.

Rotkriteriets betydelse för studiet av en potensseries $\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_k{x}^k$ konvergens inses genom att

$\underset{k\to \mathrm{\infty }}{\lim }{\left|a_k{x}^k\right|}^{\frac{1}{k}}=\underset{k\to \mathrm{\infty }}{\lim }\left|a_k^{\frac{1}{k}}x\right|$,

så potensseriens konvergens avgörs för alla $x$ där gränsvärdet ej är ett. Det går att visa att rotkriteriet är ett starkare resultat än kvotkriteriet.

Se även

• Konvergensradie