Talföljd

En talföljd (följd, progression) är en ändlig eller oändlig följd av tal, vanligen betecknad med hjälp av index som $a_1,a_2,a_3,\dots$

Definitioner

Talen $a_1,a_2,a_3,\dots$ kallas talföljdens element. Talföljden kan betraktas som en funktion f från de positiva heltalen till alla tal, $f(n)=a_n$.

En talföljd kan betecknas $a_1,a_2,a_3,\dots$ Ofta används den kortare beteckningen $(a_n)$.

Notera att talen i följden inte behöver ha olika värden. Ett exempel på detta är talföljden $a_n=(-1{)}^n$vilket ger talföljden $-1,1,-1,1,-1,1\dots$.

Att beskriva en talföljd

Talföljden kan anges med en explicit formel, till exempel

$a_n=2^n$.

Den kan också anges genom en rekursionsformel, där varje element uttrycks med hjälp av det föregående elementet , tillsammans med startvärdet, till exempel

$a_{n+1}=2a_n,a_1=2$

Typer

En talföljd kallas

• växande om $a_{n+1}\ge a_n$ för alla n

och strängt växande om $a_{n+1}>a_n$ för alla n

• avtagande om $a_{n+1}\le a_n$ för alla n

och strängt avtagande om $a_{n+1}<a_n$ för alla n

• monoton om den är antingen växande eller avtagande,
• oändlig om n kan anta hur stora värden som helst,
• begränsad upptill om det finns ett tal M sådant att $a_n<M$ för alla n
• begränsad nedtill om det finns ett tal m sådant att $a_n>m$ för alla n

Konvergens och divergens

Om talen i en oändlig talföljd närmar sig ett bestämt tal b, kallas talföljden konvergent och b kallas talföljdens gränsvärde:

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{a}_n=b$

En följd som inte är konvergent kallas divergent.

Exempel:

• $a_n=\frac{1}{2^n}=\frac{1}{2},\frac{1}{4},\frac{1}{8},...$ är konvergent med gränsvärdet 0;
• $a_n=\frac{(-1{)}^n}{n}=-1,\frac{1}{2},-\frac{1}{3},\frac{1}{4},...$ är konvergent med gränsvärdet 0;
• $a_n=|\sin \left(\frac{\pi n}{2}\right)|=1,0,1,0,1,0,...$ är divergent;
• $a_n=11n=11,22,33,...$ är divergent.

En (oändlig) decimalutveckling är en konvergent talföljd. Betrakta t.ex. det rationella talet och dess decimalutveckling $0,757575...$; den senare står för den konvergenta följden $\frac{7}{10},\frac{75}{10^2},\frac{757}{10^3},\frac{7575}{10^4},\dots$ vars gränsvärde är 25/33.

Vanliga talföljder

• En aritmetisk talföljd: differensen mellan två på varandra följande element är konstant.

Exempel: $5,8,11,14,...,5+(3n+2),...$

• En geometrisk talföljd: kvoten mellan två på varandra följande element är konstant.

Exempel: $1,\frac{1}{2},\frac{1}{4},\frac{1}{8},\frac{1}{16},\dots ,{\left(\frac{1}{2}\right)}^{n-1}$

• Fibonacciföljden: Följden $1,1,2,3,5,8,13,\dots$ av Fibonaccital, där varje element är summan av de båda närmast föregående.

Se även

• Följd - där elementen inte måste vara tal
• Serie (matematik)

Externa länkar

• The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences Maintained by N. J. A. Sloane