Kvotkriteriet

Mall:Källor Kvotkriteriet, även kallat d'Alemberts kriterium, är en sats inom matematisk analys som ger ett villkor för att en serie ska konvergera.

Låt $\{a_k{\}}_{k=0}^{\mathrm{\infty }}$ vara en talföljd. Då säger kvotkriteriet att serien

$\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_k$

är absolutkonvergent, och därmed konvergent, om

$\underset{k\to \mathrm{\infty }}{\lim }\left|\frac{a_{k+1}}{a_k}\right|<1$

och att serien är divergent om

$\underset{k\to \mathrm{\infty }}{\lim }\left|\frac{a_{k+1}}{a_k}\right|>1$.

Notera att satsen inte säger något om fallet

$\underset{k\to \mathrm{\infty }}{\lim }\left|\frac{a_{k+1}}{a_k}\right|=1$.

Kvotkriteriets betydelse för studium av potensseriers $\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_k{x}^k$ konvergens blir tydligt då

$\underset{k\to \mathrm{\infty }}{\lim }\left|\frac{a_{k+1}{x}^{k+1}}{a_k{x}^k}\right|=\underset{k\to \mathrm{\infty }}{\lim }\left|\frac{a_{k+1}}{a_k}x\right|$,

potensseriens konvergens kan utläsas för alla x som inte gör gränsvärdet lika med ett. Man kan visa att kvotkriteriet är ett svagare resultat än rotkriteriet.

Se även

• Konvergensradie