Konvergensradie

Konvergensradien för en potensserie är radien för den största cirkelskiva för vilken serien är konvergent. Den är endera ett icke-negativt reellt tal eller ∞. När radien är positiv är potensserien absolutkonvergent innanför den öppna cirkelskivan bestämd av konvergensradien och divergent utanför denna radie.

Definition

För en potensserie ƒ definierad som

$f(z)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{c}_n(z-a{)}^n,$

där

a är en komplex konstant, positionen av konvergensskivans medelpunkt,

c_n är den n^te komplexa koefficienten, och

z är en komplex variabel

Konvergensradien r är ett icke-negativt reellt tal eller = ∞ sådant att serien konvergerar om

$|z-a|<r$

och divergerar om

$|z-a|>r$

I enlighet med denna definition gäller

$r=\sup \{|z-a||\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{c}_n(z-a{)}^n\text{ konvergerar }\}$

Med andra ord, serien konvergerar om z är tillräckligt nära centrum och divergerar om z är tillräckligt avlägset. Konvergensradien anger vad som är tillräckligt nära. På gränsen, det vill säga där |z − a| = r, kan potensserien uppvisa ett komplicerat beteende och konvergera för vissa värden av z och divergera för andra. Konvergensradien sägs vara oändlig om serien konvergerar för alla z.

Beräkning av konvergensradie

Vanliga konvergenskriterier

Cauchys rotkriterium

Om serien $\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_k$ har egenskapen att $|a_k{|}^{\frac{1}{k}}\to A$ då $k\to \mathrm{\infty }$ där, $0\le A\le \mathrm{\infty }$,

är serien absolutkonvergent om 0 < A < 1 och divergent om 1 < A ≤ ∞.

d'Alemberts kvotkriterium

Om serien $\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_k$ har nollskilda termer och $\frac{|a_{k+1}|}{|a_k|}\to A$ då $k\to \mathrm{\infty }$ där $0\le A\le \mathrm{\infty }$,

är serien absolutkonvergent om 0 < A < 1 och divergent om 1 < A ≤ ∞.

Exempel 1

Bestäm konvergensradien och för vilka värden potensserien

$\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^k}{\sqrt{k}}$

konvergerar. Om

$a_k=\frac{x^k}{\sqrt{k}}$

så gäller för alla nollskilda x att

$\frac{|a_{k+1}|}{|a_k|}=\frac{|x{|}^{k+1}}{\sqrt{k+1}}\frac{\sqrt{k}}{|x{|}^k}=\sqrt{\frac{k}{k+1}}|x|\to |x|;k\to \mathrm{\infty }$

Enligt d'Alemberts kvotkriterium är serien absolutkonvergent om |x| < 1 och divergent om |x| > 1 (således är konvergensradien 1). Återstår fallet då |x| är lika med konvergensradien, det vill säga då x = ±1: för x = 1 blir serien

$\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{\sqrt{k}}$

som är divergent. Om x = -1 blir serien

$\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^k}{\sqrt{k}}$

som är konvergent enligt Leibniz' konvergenskriterium.

Exempel 2

Bestäm konvergensradien för serien

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^n}{n^n}$

$a_n=\frac{x^n}{n^n}\Rightarrow |a_n{|}^{1/n}=\frac{|x|}{n}\to 0;n\to \mathrm{\infty }$

för alla x och enligt Cauchys rotkriterium är serien absolutkonvergent med konvergensradien ∞.

Referenser

• Folke Eriksson , Eric Larsson, Gösta Wahde : ”Matematisk analys med tillämpningar”, Göteborg 2009.
• Göran Forsling , Mats Neymark : "Matematisk analys En Variabel"
• Brown, James; Churchill, Ruel (1989), Complex variables and applications, New York