Polygontal

Polygontal är ett tal som representerar antalet punkter i en regelbunden polygon.

Definition och exempel

Talet 10, till exempel, är ett triangeltal och kan ordnas som en triangel.

Men talet 10 kan inte ordnas som en kvadrat. Talet 9, som är ett kvadrattal, kan däremot det.

Talet 36, som är ett kvadrattriangulärt tal, kan ordnas både som en kvadrat och en triangel.

Regeln för att förstora polygonen till nästa storlek är att förlänga två närliggande armar av en punkt och sedan lägga till de nödvändiga extra sidor mellan dessa punkter. Nedan visas varje extra lager i rött.

Triangeltal

 

Kvadrattal

Polygoner med högre antal sidor kan också byggas enligt denna regel.

 

Pentagontal

 

Hexagontal

 

Formler

Formeln för det n:te s-gontalet P(s,n) där s är antalet sidor i en polygon är

$P(s,n)=\frac{n^2(s-2)-n(s-4)}{2}$

eller

$P(s,n)=\frac{n(s-2)(n-1)}{2}+n$

Det n:te s-gontalet är också relaterat till triangeltalen T_n enligt följande:

$P(s,n)=(s-2)T_{n-1}+n=(s-3)T_{n-1}+T_n.$

Således:

$P(s,n+1)-P(s,n)=(s-2)n+1,$

$P(s+1,n)-P(s,n)=T_{n-1}=\frac{n(n-1)}{2}.$

För ett givet s-gontal P(s,n) = x, kan man hitta n genom:

$n=\frac{\sqrt{(8s-16)x+(s-4{)}^2}+s-4}{2s-4}.$

Tabell över värden

s	Namn	Formel	n										Summan av reciproka	OEIS
			1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
3	Triangeltal	½(n²+n)	1	3	6	10	15	21	28	36	45	55	$2$	Mall:OEIS-länk
4	Kvadrattal	n²	1	4	9	16	25	36	49	64	81	100	$\frac{{\pi }^2}{6}$	Mall:OEIS-länk
5	Pentagontal	½(3n² - n)	1	5	12	22	35	51	70	92	117	145	$3\ln \left(3\right)-\frac{\pi \sqrt{3}}{3}$	Mall:OEIS-länk
6	Hexagontal	½(4n² - 2n)	1	6	15	28	45	66	91	120	153	190	$2\ln \left(2\right)$	Mall:OEIS-länk
7	Heptagontal	½(5n² - 3n)	1	7	18	34	55	81	112	148	189	235	$\begin{array}{c}\frac{1}{15}\pi \sqrt{25-10\sqrt{5}}+\frac{2}{3}\ln (5)\\ +\frac{1+\sqrt{5}}{3}\ln \left(\frac{1}{2}\sqrt{10-2\sqrt{5}}\right)\\ +\frac{1-\sqrt{5}}{3}\ln \left(\frac{1}{2}\sqrt{10+2\sqrt{5}}\right)\end{array}$	Mall:OEIS-länk
8	Oktogontal	½(6n² - 4n)	1	8	21	40	65	96	133	176	225	280	$\frac{3\ln \left(3\right)}{4}+\frac{\pi \sqrt{3}}{12}$	Mall:OEIS-länk
9	Nonagontal	½(7n² - 5n)	1	9	24	46	75	111	154	204	261	325		Mall:OEIS-länk
10	Dekagontal	½(8n² - 6n)	1	10	27	52	85	126	175	232	297	370	$\ln \left(2\right)+\frac{\pi }{6}$	Mall:OEIS-länk
11	Hendekagontal	½(9n² - 7n)	1	11	30	58	95	141	196	260	333	415		Mall:OEIS-länk
12	Dodekagontal	½(10n² - 8n)	1	12	33	64	105	156	217	288	369	460		Mall:OEIS-länk
13	Tridekagontal	½(11n² - 9n)	1	13	36	70	115	171	238	316	405	505		Mall:OEIS-länk
14	Tetradekagontal	½(12n² - 10n)	1	14	39	76	125	186	259	344	441	550	$\frac{2\ln \left(2\right)}{5}+\frac{3\ln \left(3\right)}{10}+\frac{\pi \sqrt{3}}{10}$	Mall:OEIS-länk
15	Pentadekagontal	½(13n² - 11n)	1	15	42	82	135	201	280	372	477	595		Mall:OEIS-länk
16	Hexadekagontal	½(14n² - 12n)	1	16	45	88	145	216	301	400	513	640		Mall:OEIS-länk
17	Heptadekagontal	½(15n² - 13n)	1	17	48	94	155	231	322	428	549	685		Mall:OEIS-länk
18	Oktodekagontal	½(16n² - 14n)	1	18	51	100	165	246	343	456	585	730		Mall:OEIS-länk
19	Nonadekagontal	½(17n² - 15n)	1	19	54	106	175	261	364	484	621	775		Mall:OEIS-länk
20	Ikosagontal	½(18n² - 16n)	1	20	57	112	185	276	385	512	657	820		Mall:OEIS-länk
21	Ikosihenagontal	½(19n² - 17n)	1	21	60	118	195	291	406	540	693	865		Mall:OEIS-länk
22	Ikosidigontal	½(20n² - 18n)	1	22	63	124	205	306	427	568	729	910		Mall:OEIS-länk
23	Ikositrigontal	½(21n² - 19n)	1	23	66	130	215	321	448	596	765	955		Mall:OEIS-länk
24	Ikositetragontal	½(22n² - 20n)	1	24	69	136	225	336	469	624	801	1000		Mall:OEIS-länk
10000	Myriagontal	½(9998n² - 9996n)	1	10000	29997	59992	99985	149976	209965	279952	359937	449920		Mall:OEIS-länk

Kombinationer

Vissa tal, till exempel 36 som både är ett kvadrattal och ett triangeltal, kan ordnas med fler än en polygoner. I tabellen nedan visas olika kombinationer av polygoner.

s	t	Tal	OEIS
4	3	1, 36, 1225, 41616, …	Mall:OEIS-länk
5	3	1, 210, 40755, 7906276, …	Mall:OEIS-länk
5	4	1, 9801, 94109401, …	Mall:OEIS-länk
6	3	Alla hexagontal är även triangeltal	Mall:OEIS-länk
6	4	1, 1225, 1413721, 1631432881, …	Mall:OEIS-länk
6	5	1, 40755, 1533776805, …	Mall:OEIS-länk
7	3	1, 55, 121771, 5720653, …	Mall:OEIS-länk
7	4	1, 81, 5929, 2307361, …	Mall:OEIS-länk
7	5	1, 4347, 16701685, 64167869935, …	Mall:OEIS-länk
7	6	1, 121771, 12625478965, …	Mall:OEIS-länk
8	3	1, 21, 11781, 203841, …	Mall:OEIS-länk
8	4	1, 225, 43681, 8473921, …	Mall:OEIS-länk
8	5	1, 176, 1575425, 234631320, …	Mall:OEIS-länk
8	6	1, 11781, 113123361, …	Mall:OEIS-länk
8	7	1, 297045, 69010153345, …	Mall:OEIS-länk
9	3	1, 325, 82621, 20985481, …	Mall:OEIS-länk
9	4	1, 9, 1089, 8281, 978121, …	Mall:OEIS-länk
9	5	1, 651, 180868051, …	Mall:OEIS-länk
9	6	1, 325, 5330229625, …	Mall:OEIS-länk
9	7	1, 26884, 542041975, …	Mall:OEIS-länk
9	8	1, 631125, 286703855361, …	Mall:OEIS-länk

I vissa fall, till exempel s = 10 och t = 4, finns det inga tal i båda polygonerna förutom 1.

För fallet s = 4 och t = 3, se kvadrattriangulärt tal.

Källor

• Mall:Enwp
• The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Numbers, David Wells (Penguin Books, 1997) Mall:ISBN
• Polygonal numbers at PlanetMath
• Weisstein, Eric W., "Polygonal Numbers", MathWorld.
• Mall:Bokref