Kvadrattriangulärt tal

Kvadrattriangulärt tal (eller triangulärt kvadrattal) är ett tal som både är triangeltal och kvadrattal. Det finns oändligt många kvadrattriangulära tal.

De första kvadrattriangulära talen är:

0, 1, 36, 1225, 41616, 1413721, 48024900, 1631432881, 55420693056, 1882672131025, 63955431761796, 2172602007770041, 73804512832419600, 2507180834294496361, 85170343853180456676, 2893284510173841030625 … Mall:OEIS

Explicita formler

Skriv N_k för det k:te kvadrattriangulära talet, och skriv s_k och t_k för sidorna av motsvarande kvadrat och triangel, så att

$N_k=s_k^2=\frac{t_k(t_k+1)}{2}.$

Serierna N_k, s_k och t_k är OEIS-talföljderna Mall:OEIS-länk, Mall:OEIS-länk, och Mall:OEIS-länk.

År 1778 fastställde Leonhard Euler den explicita formelnMall:Rp

$N_k={\left(\frac{(3+2\sqrt{2}{)}^k-(3-2\sqrt{2}{)}^k}{4\sqrt{2}}\right)}^2.$

Andra explicita formler (som ges genom att utöka denna formel) som kan vara praktiska är

$\begin{array}{cc}{N}_k& =\frac{1}{32}{((1+\sqrt{2}{)}^{2k}-(1-\sqrt{2}{)}^{2k})}^2=\frac{1}{32}((1+\sqrt{2}{)}^{4k}-2+(1-\sqrt{2}{)}^{4k})\\ & =\frac{1}{32}((17+12\sqrt{2}{)}^k-2+(17-12\sqrt{2}{)}^k).\end{array}$

Motsvarande explicita formler för s_k och t_k är Mall:Rp

$s_k=\frac{(3+2\sqrt{2}{)}^k-(3-2\sqrt{2}{)}^k}{4\sqrt{2}}$

och

$t_k=\frac{(3+2\sqrt{2}{)}^k+(3-2\sqrt{2}{)}^k-2}{4}.$

Pells ekvation

Problemet med att hitta kvadrattriangulära tal reducerar till Pells ekvation på följande sätt: Varje triangeltal är av formen t(t + 1)/2. Därför söker vi heltal t, s, så att

$\frac{t(t+1)}{2}=s^2.$

Med lite algebra blir det

$(2t+1{)}^2=8s^2+1,$

genom att x = 2t + 1 och y = 2s, får vi den Diofantiska ekvationen

$x^2-2y^2=1$

vilket är en förekomst av Pells ekvation. Denna speciella ekvation löses genom Pelltalen P_k som

$x=P_{2k}+P_{2k-1},y=P_{2k};$

och därav ges alla lösningar av

$s_k=\frac{P_{2k}}{2},t_k=\frac{P_{2k}+P_{2k-1}-1}{2},N_k={\left(\frac{P_{2k}}{2}\right)}^2.$

Det finns många identiteter av Pelltal, och dessa omvandlas till identiteter av de kvadrattriangulära talen.

Differensekvationer

Det finns differensekvationer för kvadrattriangulära tal, liksom för sidorna i kvadraten och triangeln. Vi harMall:Rp

$N_k=34N_{k-1}-N_{k-2}+2,\text{ med }{N}_0=0\text{ och }{N}_1=1.$

$N_k={(6\sqrt{N_{k-1}}-\sqrt{N_{k-2}})}^2,\text{ med }{N}_0=1\text{ och }{N}_1=36.$

Vi harMall:Rp

$s_k=6s_{k-1}-s_{k-2},\text{ med }{s}_0=0\text{ och }{s}_1=1;$

$t_k=6t_{k-1}-t_{k-2}+2,\text{ med }{t}_0=0\text{ och }{t}_1=1.$

Andra karakteriseringar

Alla kvadrattriangulära tal har formen b²c², där b / c är en konvergent till kedjebråket för kvadratroten ur 2.

A. V. Sylwester gav ett kort bevis på att det finns oändligt många kvadrattriangulära tal, nämligen:

Om triangeltalet n(n+1)/2 är kvadratiskt, då är det nästa större triangeltalet

$\frac{(4n(n+1))(4n(n+1)+1)}{2}=2^2\frac{n(n+1)}{2}(2n+1{)}^2.$

Vi vet att denna lösning måste vara en kvadrat, eftersom det är en produkt av tre kvadrater: 2^2 (av exponenten), (n(n+1))/2 (det n:te triangeltalet, av bevis förutsättande) och (2n+1)^2 (av exponenten). Produkten av alla tal som är kvadrater kommer att leda till en annan kvadrat, vilket bäst kan bevisas genom att geometriskt visualisera multiplikation av en NxN-låda med en MxM-låda, vilket görs genom att placera en MxM-låda inuti varje cell av NxN-lådan, som ger en annan kvadratisk lösning.

Den genererande funktionen för de kvadrattriangulära talen är:

$\frac{1+z}{(1-z)(z^2-34z+1)}=1+36z+1225z^2+\cdots .$

Numeriska data

Eftersom k blir större så är förhållandet t_k / s_k $\sqrt{2}\approx 1.41421$ och förhållandet mellan successiva kvadrattriangulära tal

$\begin{array}{cccccc}k& N_k& s_k& t_k& t_k/s_k& N_k/N_{k-1}\\ 0& 0& 0& 0& & \\ 1& 1& 1& 1& 1& \\ 2& 36& 6& 8& 1.33333& 36\\ 3& 1225& 35& 49& 1.4& 34.02778\\ 4& 41616& 204& 288& 1.41176& 33.97224\\ 5& 1413721& 1189& 1681& 1.41379& 33.97061\\ 6& 48024900& 6930& 9800& 1.41414& 33.97056\\ 7& 1631432881& 40391& 57121& 1.41420& 33.97056\end{array}$

Källor

• Mall:Enwp

Externa länkar

• Triangeltal som även är kvadrattal på cut-the-Knot Mall:En ikon
• Mall:MathWorld
• Michael Dummett's lösning Mall:En ikon