Hexagontal

De fyra första hexagontalen. Talet är det totala antalet cirklar i respektive figur.

Hexagontal, även hexagonala tal, är en sorts figurtal. Det n:te hexagontalet är antalet punkter belägna i en hexagon med n regelbundet uppdelade punkter i en sida.

De första hexagontalen är:

1, 6, 15, 28, 45, 66, 91, 120, 153, 190, 231, 276, 325, 378, 435, 496, 561, 630, 703, 780, 861, 946, ...

Formler

En formel för det n:te hexagontalet:

$h_n=2n^2-n=n(2n-1).$

Summaformel för hexagontal:

$h_n=\sum _{k=0}^{n-1}(4k+1)=2n^2-n$

Test för hexagonala tal

För att avgöra om ett tal är hexagonalt kan n beräknas som

$n=\frac{\sqrt{8x+1}+1}{4}$

och om n är ett heltal så är talet x det n:te hexagontalet.

Egenskaper

• Alla hexagonala tal är triangeltal men endast vartannat triangeltal är hexagonalt.

• Hexagontal kan endast vara kongruenta med 0, 1, 3 eller 6 modulo 9.

• Varje känt perfekt tal är hexagonalt som ges av formeln nedan:

$M_p{2}^{p-1}=M_p(M_p+1)/2=h_{(M_p+1)/2}=h_{2^{p-1}}.$

Där M_p är ett Mersenneprimtal. Det finns inte något känt udda perfekta tal, och alla jämna perfekta tal uppkommer på ovanstående sätt från Mersenneprimtal, därför är alla kända perfekta tal hexagonala.

• Summan av hexagontalens reciproker ges av

$\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{h_k}^{-1}=\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{2\cdot k^2-k}=2\ln (2).$