Milnors K-teori

Inom matematiken är Milnors K-teori ett tidigt försök att definiera högre algebraisk K-teori, introducerat av Mall:Harvs.

Definition

Beräkningen av K₂ av en kropp F ledde Milnor till följande ad hoc-definition av högre K-grupper:

$K_{*}^M(F):=T^{*}{F}^{\times }/(a\otimes (1-a)),$

som graderade delar av ett kvot av tensoralgebran av multiplikativa gruppen F^× av tvåsidiga idealet genererat av elementen

$a\otimes (1-a)$

för a ≠ 0, 1. För n = 0,1,2 är dessa identiska med Quillens K-grupper för en kropp, men för n ≧ 3 är de i allmänhet olika. Vi definierar symbolen $\{a_1,\dots ,a_n\}$ som bilden av $a_1\otimes \cdots \otimes a_n$: fallet n=2 är en Steinbergsymbol.

Tensorprodukten på tensoralgebran inducerar en produkt $K_m\times K_n\to K_{m+n}$ som gör $K_{*}^M(F)$ till en graderad ring som är superkommutativ.

Exempel

• $K_n^M({𝔽}_q)=0$ för n ≧ 2.
• $K_2^M(ℂ)$ är en överuppräknelig unikt delbar grupp.
• $K_2^M(ℝ)$ är direkta summan av en cyklisk grupp av ordning 2 och en överuppräknelig unikt delbar grupp.
• $K_2^M({\mathbb{Q}}_p)$ är direkta summan av multiplikativa gruppen av ${𝔽}_p$ och en överuppräknelig unikt delbar grupp.
• $K_2^M(\mathbb{Q})$ är direkta summan av en cyklisk grupp av ordning 2 och cykliska grupper av ordning $p-1$ för alla udda primtal $p$.

Användningar

Milnors K-teori har en fundamental roll i högre klasskroppsteori, där den ersätter $K_1^M$ i endimensionell klasskroppsteori.

Milnors K-teori modulo 2, betecknad med k_*(F), är relaterad till étalekohomologin (eller Galoiskohomologin) av kroppen F enligt Milnors förmodan, bevisad av Voevodsky. Analogin för udda primtal är Bloch–Katos förmodan, bevisad av Voevodsky, Rost och andra.

Källor

• Mall:Enwp
• Mall:Bokref
• Mall:Bokref
• Mall:Tidskriftsref

Vidare läsning

• Mall:Bokref