Algebraisk K-teori

Inom matematiken är algebraisk K-teori ett viktigt delområde av homologisk algebra och rör definitionen och tillämpningar av en följd

K_n(R)

av funktorer från ringar till abelska grupper, för alla naturliga tal n. Av historiska skäl behandlar man ofta de lägre K-grupperna K₀ och K₁ något annorlunda än de högre K-grupperna K_n för n ≥ 2. De lägre grupperna är enklare att behandla och har hittills haft större tillämpning än de högre grupperna. De högre K-grupperna är också betydligt svårare att beräkna (till och med när R är ringen av heltal). Den nu använda definitionen av Quillen täcker dock samtliga K-grupper.

Gruppen K₀(R) generaliserar konstruktionen av idealklassgruppen av en ring genom att använda projektiva moduler. Dess utveckling på 1960- och 1970-talet var relaterat till försök att bevisa en förmodan av Serre om projektiva moduler numera känd som Quillen–Suslins sats; flera andra samband med klassiska algebraiska problem upptäcktes under denna period. Analogt är K₁(R) en modifiering av enheterna i en ring, genom att använda elementär matristeori. Gruppen K₁(R) är viktig inom topologin, speciellt då R är en gruppring, eftersom dess kvot Whiteheadgruppen innehåller Whiteheadtorsionen som används till att undersöka problem i enkel homotopiteori; gruppen K₀(R) innehåller även andra invarianter såsom ändlighetsinvarianten. Sedan 1980-talet har algebraisk K-teori använts i ökande takt inom algebraisk geometri. Exempelvis är motivisk kohomologi nära relaterad till algebraisk K-teori.

Lägre K-grupperna

De lägre K-grupperna upptäcktes först och gavs flera användbara beskrivningar. I följande är A alltid en ring.

K₀

Funktoren K₀ tar ringen A till Grothendieckgruppen av mängden av isomorfiklasser av dess ändligtgenererade projektiva moduler, betraktad som en monoid under direkta summan. Varje ringhomomorfism A → B ger en avbildning K₀(A) → K₀(B) genom att ta (klassen av) en projektiv A-modul M till M ⊗_A B, vilket gör K₀ till en kovariant funktor.

Om ringen A är kommutativ kn vi definiera en delgrupp av K₀(A) som mängden

${\tilde{K}}_0\left(A\right)=\bigcap _{𝔭\text{ är ett primideal av }A}\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}{\dim }_{𝔭}$

där

${\dim }_{𝔭}:K_0\left(A\right)\to 𝐙$

är avbildningen om sänder varje (klass av en) ändligtgenererad projektiv A-modul M till rangen av den fria $A_{𝔭}$-modulen $M_{𝔭}$ (denna modul är faktiskt fri, emedan varje ändligtgenererad projektiv modul över en lokal ring är fri). Denna delgrupp ${\tilde{K}}_0\left(A\right)$ är känd som den reducerade nollte K-teorin av A.

Om B är en pseudoring kan vi utvidga definitionen av K₀ på följande vis. Låt A = B⊕Z vara utvidgningen av B till en ring med enhet, som fås genom att addera ett identitetselement (0,1). Då finns det en kort exakt följd B → A → Z och vi definierar K₀(B) som nollrummet av den korresponderande avbildningen K₀(A) → K₀(Z) = Z.

Se även

• Topologisk K-teori

Referenser

• Mall:Enwp

Källor

• Mall:Citation
• Mall:Citation
• Mall:Citation
• Mall:Citation
• Mall:Citation
• Mall:Citation
• Mall:Citation
• Mall:Citation
• Mall:Citation (lägre K-grupper)
• Mall:Citation
• Mall:Citation (Quillens Q-konstruktion)
• Mall:Citation (relationen mellan Q-konstruktionen och pluskonstruktionen)
• Mall:Citation. Errata
• Mall:Citation
• Mall:Citation
• Mall:Citation (survey article)

Externa länkar

• Lars Hesselholt Algebraisk K-teori og sporinvarianter