Kardinalitetmått

Ett kardinalitetmått eller räknemått är ett mått som mäter kardinaliteten för mängder. Kardinalitetmåttet används mestadels som ett enkelt exempel för mått men det också har tillämpningar i serieteori.

Definition

Låt $X$ vara en mängd. Kardinalitetmåttet för mängden är en funktion $\mu :𝒫(X)\to [0,\mathrm{\infty }]$, definierad som:

$\mu (A)=\{\begin{array}{cc}\text{card}(A),& \text{om}A\text{ är ändlig}\\ +\mathrm{\infty },& \text{om}A\text{ är oändlig},\end{array}$

där card(A) är kardinaliteten för mängden A. Kardinalitetmåttet är ett mått.

Egenskaper

Det finns en koppling mellan kardinalitetmått och Diracmått: om $A\subset X$ så är

$\mu (A)=\sum _{x\in A}{\delta }_x(X).$

Kardinalitetmått är nolldimensionella Hausdorffmått:

$\mu ={\mathscr{H}}^0.$

Serieteori

Kardinalitetmåttet har tillämpningar i serieteori. Om $X$ är uppräknelig, d.v.s.

$X=\{x_i:i\in \mathbb{N}\}$,

är kardinalitetmåttets måttintegral en serie: om $f:X\to ℝ$ är

$\underset{X}{\int }fd\mu =\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}f(x_i).$

Alltså f är integrerbar om och endast om serien $\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}f(x_i)$ är absolutkonvergent.

Detta innebär också att vi man kan bevisa Hölders olikhet och Minkowskis olikhet för serier med L^p-normens Hölders och Minkowskis olikheter som är till för integraler.

Referenser

• P. Halmos, Measure theory, D. van Nostrand and Co., 1950