Lp-rum

Ett $L^p$-rum är ett funktionsrum inom matematik. $L^p$-rummet består av funktioner som är p-integrerbara. Man behöver $L^p$-rummet till exempel inom måtteori och funktionalanalys.

Formell definition

$L^p$-rummet är en måtteoretisk konstruktion och man kan bara definiera det för måttrum.

Låt $1\le p<\mathrm{\infty }$ och $(X,ℱ,\mu )$ vara ett måttrum så att måttet µ är ett fullständigt mått. Man behöver fullständighet här eftersom man vill integrera alla delmängder för en nollmängd.

För mätbara funktioner $f:X\to \overline{ℝ}$ definierar man $L^p$-normen

$\Vert f{\Vert }_p:={(\underset{X}{\int }|f{|}^{p}d\mu )}^{1/p}$,

dvs $L^p$-normen är en p-rot av måttintegralen för funktionen $|f{|}^p$. För $p=\mathrm{\infty }$ definieras $L^{\mathrm{\infty }}$-normen:

$\Vert f{\Vert }_{\mathrm{\infty }}:=\text{ess sup}|f|$,

där ess sup är väsentligt supremum.

$L^p$-normen, med $1\le p\le \mathrm{\infty }$, är inte en norm för alla mätbara funktioner. Men man kan definiera ett rum där det är en norm. ${ℒ}^p$-rummet, för ett fixt p, är mängden:

${ℒ}^p={ℒ}^p(X,ℱ,\mu ):=\{f:\Vert f{\Vert }_p<\mathrm{\infty }\}$.

${ℒ}^p$-rummet är ett vektorrum. Eftersom man har definierat $L^p$-rummet utifrån en måttstruktur så är ${ℒ}^p$-normen bara en seminorm, dvs

$\Vert f+g{\Vert }_p\le \Vert f{\Vert }_p+\Vert g{\Vert }_p$

och

$\Vert af{\Vert }_p=|a|\Vert f{\Vert }_p$

för $f,g\in {ℒ}^p$ och $a\in ℝ$ men det finns måttrum och funktioner där

$\Vert f{\Vert }_p=0$ men $f\ne 0$

gäller, exempelvis om man tar den vanliga måttstrukturen på de reella talen, med Borelalgebran som sigma-algebra och Lebesguemåttet som mått, då $f={\chi }_{\mathbb{N}}$ är ett exempel på en funktion som är nollskild men har en norm som är noll. Detta visar att $L^p$-normen inte är en norm på detta rum.

För att få en riktig norm definierar man en ekvivalensrelation i ${ℒ}^p$ genom att

$f\sim g$ om och endast om $\Vert f-g{\Vert }_p=0$

och definiera $L^p$-normen för ekvivalensklasser

$\Vert f^{\sim }{\Vert }_p:=\Vert f{\Vert }_p$

där $f^{\sim }$ är ekvivalensklassen med representant f:

$f^{\sim }:=\{g\in {ℒ}^p:f\sim g\}.$

Kvotrummet $L^p={ℒ}^p/\sim$ med $L^p$-normen kallas för $L^p$-rummet. I rummet $L^p$ identifieras funktioner f och g vars skillnad f - g har en norm som är noll. Exempelvis, från exemplet ovan, identifieras $f={\chi }_{\mathbb{N}}$ med funktionen g = 0.

${\ell }^p$-rum

Som ett specialfall av $L^p$-rum kan man få de så kallade ${\ell }^p$-rummen. Om X är uppräknelig och måttet µ är räknemåttet betecknas

${\ell }^p:=L^p$,

så att för $1\le p<\mathrm{\infty }$

${\ell }^p=\{(x_i{)}_{i=1}^{\mathrm{\infty }}:\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}|x_i{|}^p<\mathrm{\infty }\},$

dvs, ${\ell }_p$ kan ses som alla följder i X så att summan av termerna upphöjt till p konvergerar.

Man får också:

${\ell }^{\mathrm{\infty }}=\{(x_i{)}_{i=1}^{\mathrm{\infty }}:\underset{i\in \mathbb{N}}{\sup }|x_i|<\mathrm{\infty }\}.$

dvs, ${\ell }^{\mathrm{\infty }}$-rummet är rummet av alla begränsade följder.

Egenskaper

Nedan finns några egenskaper för $L^p$-rummen och normerna.

Olikheter

Hölders olikhet: om $p>1$ och $q>1$ med

$\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$,

och $f\in L^p$ och $g\in L^q$ så är

$\Vert fg{\Vert }_1\le \Vert f{\Vert }_p\Vert g{\Vert }_q$.

Om $p=1$ och $q=\mathrm{\infty }$ så är

$\Vert fg{\Vert }_1\le \Vert f{\Vert }_1{\Vert g\Vert }_{\mathrm{\infty }}$.

Talen p och q kallas för Hölderkonjugat.

Minkowskis olikhet: Man kallar ofta triangelolikheten

$\Vert f+g{\Vert }_p\le \Vert f{\Vert }_p+\Vert g{\Vert }_p$

när $f,g\in L^p$ för Minkowskis olikhet.

Dualrummet

Om p och q är Hölderkonjugat så är $L^p$:s dualrummet $(L^p{)}^{*}$ isomorf till $L^q$, dvs

$(L^p{)}^{*}\cong L^q$.

Därför säger man ofta att $L^p$:s dualrum är $L^q$.

Notera att det finns måttrum där $(L^{\mathrm{\infty }}{)}^{*}$ inte är isomorf med $L^1$.

Se även

• Lebesgueintegration
• Funktionalanalys
• Måtteori
• Fouriertransform
• Tb-sats

Referenser

• W. Rudin, Functional analysis, McGraw-Hill, 1991
• P. Halmos, Measure theory, D. van Nostrand and Co., 1950
• M. E. Munroe, Introduction to Measure and Integration, Addison Wesley, 1953
• R. M. Dudley, Real Analysis and Probability, Cambridge University Press, 2002
• G. B. Folland, Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications, John Wiley, 1984
• https://web.archive.org/web/20131111192546/https://www.doria.fi/bitstream/handle/10024/2842/avaruude.pdf?sequence=1