Haarmått

Haarmått är ett mått i lokalt kompakta topologiska grupper så att det är volyminvariant. Till exempel är Lebesguemåttet Haarmåttet i ${ℝ}^n$.

Translation-invariant mått

Låt $(G,\circ )$ vara en grupp.

Om $A\subset G$ och $g\in G$ kallas mängden

$gA=g\circ A:=\{g\circ a:a\in A\}$

för vänstertranslationen för A och mängden

$Ag=A\circ g:=\{a\circ g:a\in A\}$

för högertranslationen för A.

En sigma-algebra $ℱ$ i $G$ är vänstertranslationsinvariant om

för alla $A\in ℱ$ och $g\in G$ är $gA\in ℱ$,

likartat kan man definiera egenskapen att en sigmaalgebra är högertranslationsinvariant.

Om $ℱ$ är en vänstertranslationsinvariant sigma-algebra så är måttet $\mu :ℱ\to [0,\mathrm{\infty }]$ vänstertranslationsinvariant om

för alla $A\in ℱ$ och $g\in G$ är $\mu (gA)=\mu (A)$ ,

likartat kan man definiera att ett mått är högertranslationsinvariant.

Haarmått

Låt $(G,\circ )$ vara en lokalt kompakt topologisk grupp, dvs

• paret $(G,\circ )$ är en grupp,
• rummet $G$ är ett lokalt kompakt topologiskt rum
• avbildningen $G\times G\to G:(g,h)\mapsto g\circ h$ är kontinuerlig (i produkttopologin) och
• avbildningen $G\to G:g\mapsto g^{-1}$ är kontinuerlig.

Då är Borelmängderna $\text{Bor}G$ en vänster- och högertranslationsinvariant sigma-algebra.

Det går att visa att det alltid finns (utan konstant) endast ett Radonmått

${\mu }_v:\text{Bor}G\to [0,\mathrm{\infty }]$

som är vänstertranslationsinvariant. Vi kallar detta mått vänster-Haarmåttet.

Man kan även visa att det alltid finns (utan konstant) endast ett Radonmått

${\mu }_h:\text{Bor}G\to [0,\mathrm{\infty }]$

som är vänster-translation-invariant som kallas höger-Haarmåttet.

Med utan konstant menas att Radonmåttet $\mu$ i $G$ är vänstertranslationsinvariant om och endast om det finns $c\ge 0$ så att $\mu =c{\mu }_v$, likaså för det högertranslationsinvarianta måttet.

Det finns grupper $G$ där ${\mu }_v\ne {\mu }_h$, men om

${\mu }_v={\mu }_h$

i $G$ kallar vi måttet

${𝔥}_G:={\mu }_v={\mu }_h$

för Haarmåttet.

Egenskaper

• Givet ett höger-Haarmått $\mu$ kan ett möjligen nytt höger-Haarmått $\nu$ skapas genom att definiera

$\nu (S)=\mu (g^{-1}S)$

där $g$ är ett element i den överliggande gruppen $G$ och $S$ är en Borelmängd. Då alla höger-Haarmått på en grupp är unika upp till en konstant finns således ett reellt tal $\mathrm{\Delta }(g)$ sådant att

$\nu (S)=\mu (g^{-1}S)=\mathrm{\Delta }(g)\mu (S).$

Eftersom ett nytt höger-Haarmått kan skapas för varje element $g$ i gruppen så kan $\mathrm{\Delta }$ ses som en funktion från gruppen till de positiva reella talen och brukar kallas modulärfunktionen. Notera att modulärfunktionen är oberoende av vilket höger-Haarmått som väljs för att definiera den eftersom givet två höger-Haarmått $\mu$ och $\nu$ så finns det en konstant $k$ så att $\nu =k\mu$. Detta ger

$\nu (g^{-1}S)=k\mu (g^{-1}S)=k\mathrm{\Delta }(g)\mu (S)=\mathrm{\Delta }(g)\nu (S).$

• Om gruppen $G$ är en abelsk grupp så är ${\mu }_v={\mu }_h$.

Exempel

• Rummet $({ℝ}^n,+)$ är en lokalt kompakt topologisk grupp med normtopologi. Dessutom är Lebesguemåttet över Borelmängder höger- och vänstertranslationsinvariant, dvs

för alla $A\in \text{Bor}{ℝ}^n$ och $x\in {ℝ}^n$ gäller att ${ℒ}^n(x+A)={ℒ}^n(A)={ℒ}^n(A+x)$.

Så att Lebesguemåttet är Haarmåttet i ${ℝ}^n$:

${𝔥}_{{ℝ}^n}={ℒ}^n$.

Detta innebär också att Lebesguemåttet är (utan konstant) det enda höger- och vänstertranslationsinvarianta måttet i ${ℝ}^n$.

• Andra viktiga exempel för Haarmåttet är vridningsinvariant mått i ortogonalgruppen, dvs

${𝔥}_{O(n)}={\theta }_n$.

Källor

• Paul Halmos (1950), Measure Theory, D. van Nostrand and Co.