Radonmått

Radonmått är inom matematiken viktig typ av mått i topologiska rum. En intuitiv återgivning för Radonmått är att den mäter storlek av mängder. De viktigaste Radonmåtten är Lebesguemåttet, Hausdorffmåttet och Haarmåttet.

Definition

Låt $(X,𝒯)$ vara ett topologiskt rum. Borelmåttet $\mu$ i $X$ är ett Radonmått, om

• $\mu (K)<\mathrm{\infty }$ för alla kompakt mängder $K\subset X$.
• $\mu (U)=\sup \{\mu (K):K\subset U\text{ och }K\subset X\text{ kompakt}\}$ för alla öppna mängder $U\subset X$.
• $\mu (B)=\inf \{\mu (U):B\subset U\text{ och }U\subset X\text{ öppen}\}$ för alla Borelmängder $B\subset X$.

Om $(X,𝒯)=({ℝ}^n,{𝒯}_{|\cdot |})$ är ett Borelmått är $\mu$ i ${ℝ}^n$ ett Radonmått om och endast om $\mu$ är ett lokalt ändligt mått, dvs

för alla $x\in {ℝ}^n$ existerar $r_x>0$ så att $\mu (B(x,r))<\mathrm{\infty }$ för alla $0<r\le r_x$.

Applikationer

Man behöver Radonmåttet i funktionalanalys och geometrisk måtteori.

Karakterisation med funktionaler

Huvudartikel: Riesz representationssats.

Om $(X,𝒯)$ är ett lokalt kompakt Hausdorffrum, kan man karakterisera varje Radonmått i $X$ med funktionaler. Man kan visa att

$F:{𝒞}_c(X)\to ℝ$

är en positiv linjär funktional om och endast om där finns ett Radonmått $\mu$ i $X$ så att

$F(f)=\underset{X}{\int }fd\mu$

för alla $f\in {𝒞}_c(X)$. I litteraturen kallas ofta positiva linjära funktionaler Radonmått.

Hausdorffdimension

Huvudartikel: Frostmans lemma.

Om $(X,𝒯)=({ℝ}^n,{𝒯}_{|\cdot |})$ kan man karakterisera Hausdorffdimensionen för kompakt mängder med Radonmått. Låt $K\subset {ℝ}^n$ vara en kompakt mängd och $s>0$. Man kan visa att

${\mathscr{H}}^s(K)>0$

om och endast om det finns ett Radonmått $\mu$ i ${ℝ}^n$ så att

$\mathrm{supp}(\mu )\subset K$, $\mu (K)>0$ och $\mu (B(x,r))\le c_{\mu }{r}^s$

för alla $x\in {ℝ}^n$ och $r>0$ där $c_{\mu }>0$.

Se även

• Radonintegral
• Massfördelning

Referenser

• Mall:Citation