Delarantal

Delarantalet (alternativt antal delare) för ett positivt heltal n, är antalet positiva delare till talet, inklusive 1 och n självt, och betecknas ofta d(n).

Exempel

• Talet 28 är delbart med 1, 2, 4, 7, 14 och 28, så d(28) = 6.
• Talet 7 är delbart med 1 och 7, så d(7) = 2.
• Talet 12 är delbart med 1, 2, 3, 4, 6 och 12, så d(12) = 6.

Egenskaper

Om primtalsfaktoriseringen av n är

$n=\prod _{i=1}^r{p}_i^{a_i}$

är delarantalet av n

$d(n)=\prod _{i=1}^r(a_i+1).$

Roger Heath-Brown bevisade 1984 att det finns oändligt många n så att

$d(n)=d(n+1).$

Tillväxt

För alla $ϵ>0$ är

$d(n)=o(n^{ϵ}).$

Severin Wigert har bevisat att

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; sup}}\frac{\log d(n)}{\log n/\log \log n}=\log 2.$

Å andra sidan, eftersom det finns oändligt många primtal, är

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; inf}}d(n)=2.$

Peter Gustav Lejeune Dirichlet bevisade att delarfunktionen satisfierar

$\text{for all }x\ge 1,\sum _{n\le x}d(n)=x\log x+(2\gamma -1)x+O(\sqrt{x})$

där $\gamma$ är Eulers konstant. Att förbättra feltermen $O(\sqrt{x})$ i formeln är känt som Dirichlets delarproblem.

Genererande funktioner

Några dirichletserier vars koefficienter är d(n) eller relaterade funktioner är

${\zeta }^2(s)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{d(n)}{n^s}$

$\frac{{\zeta }^3(s)}{\zeta (2s)}=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{d(n^2)}{n^s}$

$\frac{{\zeta }^4(s)}{\zeta (2s)}=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{d(n{)}^2}{n^s}.$

Relation till andra aritmetiska funktioner

$2^{\omega (n)}\le d(n)\le 2^{\mathrm{\Omega }(n)}$

Se även

• Delbarhet
• Delarsumma
• Sigmafunktionen
• Dirichlets delarproblem