Dirichlets delarproblem

Inom talteori är Dirichlets delarproblem ett klassiskt problem om tillväxten av summafunktionen av delarantalet.

Delarfunktionens summafunktion definieras som

$D(x)=\sum _{n\le x}d(n)$

där

$d(n)=\sum _{d|n}1$

är antalet delare av n.

Att hitta en sluten formel för denna funktion är ett extremt svårt problem, men det går att härleda goda approximationer. Peter Gustav Lejeune Dirichlet bevisade att

$D(x)=x\log x+x(2\gamma -1)+\mathrm{\Delta }(x)$

där $\gamma$ är Eulers konstant där

$\mathrm{\Delta }(x)=𝒪\left(\sqrt{x}\right).$

Dirichlets delarproblem frågar följande: vad är infimum för alla tal $\theta$ förvilkar which

$\mathrm{\Delta }(x)=𝒪\left(x^{\theta +ϵ}\right)$

gäller för alla $ϵ>0$. Många av metoderna inom detta problem kan användas inom Gauss cirkelproblem som är ett relaterat problem med en annan aritmetisk funktion

• 1904 bevisade G. Voronoi att feltermen kan förbättras till $𝒪(x^{1/3}\log x).$
• 1916 bevisade G.H. Hardy att $\inf \theta \ge 1/4$. Han bevisade att för någon konmstant $K$ finns det värden på x så att $\mathrm{\Delta }(x)>K{x}^{1/4}$ och värden x så att$\mathrm{\Delta }(x)<-K{x}^{1/4}$.
• 1922 förbättrade J. van der Corput Dirichlets resultat till $\inf \theta \le 33/100.$
• 1928 förbättrade han sitt resultat något till $\inf \theta \le 27/82.$
• 1950 bevisade Chih Tsung-tao och oberoende av Chih H. E. Richert 1953 att $\inf \theta \le 15/46.$
• 1969 bevisade Grigori Kolesnik att $\inf \theta \le 12/37$.
• 1973 bevisade han att $\inf \theta \le 346/1067$.
• 1982 förbättrade han sitt resultat något till $\inf \theta \le 35/108$.
• 1988 bevisade H. Iwaniec och C. J. Mozzochi att $\inf \theta \le 7/22.$
• 2003 förbättrade M.N. Huxley detta till $\inf \theta \le 131/416.$

Så det äkta värdet av $\inf \theta$ är någonstans mellan 1/4 och 131/416 (approximativt 0.3149); det har förmodats att den är precis lika med 1/4. Direkt beräkning av $\mathrm{\Delta }(x)$ stöder det, då $\mathrm{\Delta }(x)/x^{1/4}$ verkar vara approximativt normalt fördelat med standarddevitation 1 för x ända upp till minst 10¹⁶. Värdet 1/4 skulle även följa av en förmodan om exponentpar.

Piltzs delarproblem

Definiera

$D_k(x)=\sum _{n\le x}{d}_k(n)=\sum _{mn\le x}{d}_{k-1}(n).$

Då är

$D_k(x)=x{P}_k(\log x)+{\mathrm{\Delta }}_k(x)$

där $P_k$ är ett polynom av grad $k-1$. Med simpla metoder kan man visa att

${\mathrm{\Delta }}_k(x)=𝒪\left(x^{1-1/k}{\log }^{k-2}x\right)$

för heltal $k\ge 2$. Såsom i fallet $k=2$ känner man inte till infimat för något värde på $k$. Att hitta dessa infimum är känt som Piltzs delarproblem, efter den tyska matematikern Adolf Piltz. Genom att definiera ${\alpha }_k$ som det infimat på värden med which ${\mathrm{\Delta }}_k(x)=𝒪\left(x^{{\alpha }_k+\epsilon }\right)$ gäller för all $\epsilon >0$ följande resultat (notera att that ${\alpha }_2$ är $\theta$ från förra sektionen):

${\alpha }_2\le \frac{131}{416}$

${\alpha }_3\le \frac{43}{96},$ och

${\alpha }_k\le \frac{3k-4}{4k}(4\le k\le 8)$

${\alpha }_9\le \frac{35}{54},{\alpha }_{10}\le \frac{41}{60},{\alpha }_{11}\le \frac{7}{10}$

${\alpha }_k\le \frac{k-2}{k+2}(12\le k\le 25)$

${\alpha }_k\le \frac{k-1}{k+4}(26\le k\le 50)$

${\alpha }_k\le \frac{31k-98}{32k}(51\le k\le 57)$

${\alpha }_k\le \frac{7k-34}{7k}(k\ge 58).$

• E.C. Titchmarsh förmodar att ${\alpha }_k=\frac{k-1}{2k}.$

Källor

• Mall:Enwp
• H.M. Edwards, Riemann's Zeta Function, (1974) Dover Publications, Mall:ISBN
• E. C. Titchmarsh, The theory of the Riemann Zeta-Function, (1951) Oxford at the Clarendon Press, Oxford. (See chapter 12 for a discussion of the generalized divisor problem)
• Mall:Apostol IANT (Provides an introductory statement of the Dirichlet divisor problem.)
• H. E. Rose. A Course in Number Theory., Oxford, 1988.
• Mall:Bokref