Delbarhet

Delbarheten av 60.

Ett heltal $a$ är delbart med ett annat heltal $b$ om det finns ett heltal $k$ så att $a=b\cdot k$. Man säger också att "$b$ är en delare (eller divisor) i $a$" eller att "$b$ delar $a$". I dagligt tal säger man att $a$ är jämnt delbart med $b$.

Att $b$ delar $a$ skrivs ofta $b|a$.

Skillnad mellan delbarhet och division

Delbarhet är en matematisk relation och bör inte sammanblandas med operationen "delat med", division. Utsagan

$3|6$

är en sann utsaga, därför att det finns minst ett heltal, nämligen talet 2, som multiplicerat med 3 ger produkten 6. Uttrycket

$\frac{6}{3}$

har värdet 2, därför att 2 är det enda tal som multiplicerat med 3 ger produkten 6. Likaså är utsagan

$0|0$

en sann utsaga, därför att det finns minst ett heltal (exempelvis talet 2867) som multiplicerat med 0 ger produkten 0. Däremot har uttrycket

$\frac{0}{0}$

inte något definierat värde. Division med noll som nämnare är inte definierat; men delbarhet med 0 som delare är helt accepterat.

Exempel

• $5|15$, eftersom $15=3\cdot 5$
• $(-5)|15$, eftersom $15=(-3)\cdot (-5)$
• $b|0$ för alla $b$, eftersom $0=b\cdot 0$
• $a|a$ för alla $a$, eftersom $a=a\cdot 1$

Egenskaper

Enkla satser om delbarhet (gäller för alla heltal $a$, $b$, $c$):

• Om $a|b$, så $a|bc$
• Om $c|a$ och $c|b$, så $c|(ax+by)$ för alla heltal x och y
• Om $a|b$ och $b|c$, så $a|c$

Om $a$ och $b$ är positiva heltal och $a|b$, så är värdet av uttrycket $\frac{b}{a}$ ett positivt heltal, och $\frac{b}{a}|b$.

Detta medför att $b$ har ett udda antal positiva delare om och endast om $\frac{b}{a}=a$ för något positivt heltal $a$, alltså om och endast om $b$ är en heltalskvadrat.

Om $a$ är ett heltal större än 1 och vars enda delare är $\pm 1$ och $\pm a$ sägs $a$ vara ett primtal.

Se även

• Primtal
• Största gemensamma delare
• Äkta delare
• Kvot

Externa länkar

• Mall:Wikibooks