Sigmafunktionen

Sigmafunktionen är inom talteorin en aritmetisk funktion som definieras som summan av $m$:te potensen av alla delare till ett positivt heltal $n$:

${\sigma }_m(n)=\sum _{d|n}{d}^m$

Sigmafunktionen är multiplikativ (men inte komplett multiplikativ) och kan därmed beräknas utifrån primfaktoriseringen av $n$ som

${\sigma }_m(p_1^{a_1}...p_r^{a_r})=\prod _{i=1}^r\frac{p_i^{m(a_i+1)}-1}{p_i^m-1}$

Genererande funktioner

Dirichletserier innehållande sigmafunktionen är

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{{\sigma }_a(n)}{n^s}=\zeta (s)\zeta (s-a),$

som för $a=0$ blir

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{d(n)}{n^s}={\zeta }^2(s),$

och

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{{\sigma }_a(n^2)}{n^s}=\frac{\zeta (s)\zeta (s-a)\zeta (s-2a)}{\zeta (2s-2a)}$

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{{\sigma }_a(n){\sigma }_b(n)}{n^s}=\frac{\zeta (s)\zeta (s-a)\zeta (s-b)\zeta (s-a-b)}{\zeta (2s-a-b)}.$

En Lambertserie är

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{q}^n{\sigma }_a(n)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{n^a{q}^n}{1-q^n}.$

Identiteter för sigmafunktionen

${\sigma }_3(n)=\frac{1}{5}\{6n{\sigma }_1(n)-{\sigma }_1(n)+12\sum _{0<k<n}{\sigma }_1(k){\sigma }_1(n-k)\}.$

${\sigma }_5(n)=\frac{1}{21}\{10(3n-1){\sigma }_3(n)+{\sigma }_1(n)+240\sum _{0<k<n}{\sigma }_1(k){\sigma }_3(n-k)\}.$

$\begin{array}{cc}{\sigma }_7(n)& =\frac{1}{20}\{21(2n-1){\sigma }_5(n)-{\sigma }_1(n)+504\sum _{0<k<n}{\sigma }_1(k){\sigma }_5(n-k)\}\\ & ={\sigma }_3(n)+120\sum _{0<k<n}{\sigma }_3(k){\sigma }_3(n-k).\end{array}$

$\begin{array}{cc}{\sigma }_9(n)& =\frac{1}{11}\{10(3n-2){\sigma }_7(n)+{\sigma }_1(n)+480\sum _{0<k<n}{\sigma }_1(k){\sigma }_7(n-k)\}\\ & =\frac{1}{11}\{21{\sigma }_5(n)-10{\sigma }_3(n)+5040\sum _{0<k<n}{\sigma }_3(k){\sigma }_5(n-k)\}.\end{array}$

$\tau (n)=\frac{65}{756}{\sigma }_{11}(n)+\frac{691}{756}{\sigma }_5(n)-\frac{691}{3}\sum _{0<k<n}{\sigma }_5(k){\sigma }_5(n-k),$     där $\tau (n)$ är Ramanujans taufunktion.

$\sum _{\delta |n}{d}^3(\delta )={(\sum _{\delta |n}d(\delta ))}^2$

$d(uv)=\sum _{\delta |\gcd (u,v)}\mu (\delta )d\left(\frac{u}{\delta }\right)d\left(\frac{v}{\delta }\right)$

${\sigma }_k(u){\sigma }_k(v)=\sum _{\delta |\gcd (u,v)}{\delta }^k{\sigma }_k\left(\frac{uv}{{\delta }^2}\right)$

Se även

• Delarantal
• Delarsumma

Källor

• Mall:Citation.
• Bach, Eric; Shallit, Jeffrey, Algorithmic Number Theory, volume 1, 1996, MIT Press. Mall:ISBN, see page 234 in section 8.8.
• Mall:Citation
• Mall:Citation
• Mall:Citation
• Mall:Citation
• Mall:Citation
• Mall:Citation
• Mall:Citation
• Mall:Citation
• Mall:Citation
• Mall:Mathworld
• Mall:Mathworld
• Elementary Evaluation of Certain Convolution Sums Involving Divisor Functions PDF of a paper by Huard, Ou, Spearman, and Williams. Contains elementary (i.e. not relying on the theory of modular forms) proofs of divisor sum convolutions, formulas for the number of ways of representing a number as a sum of triangular numbers, and related results.

de:Teilersumme hu:Osztóösszeg-függvény pl:Funkcja σ