Ramanujans taufunktion

Inom matematiken är Ramanujans taufunktion, uppkallad efter Srinivasa Ramanujan, funktionen $\tau :\mathbb{N}\to \mathbb{Z}$ definierad som

$\sum _{n\ge 1}\tau (n)q^n=q\prod _{n\ge 1}(1-q^n{)}^{24}=\eta (z{)}^{24}=\mathrm{\Delta }(z),$

där $q=\exp (2\pi iz)$ är så att $\mathrm{\Im }z>0$ och $\eta$ är Dedekinds etafunktion.

Värden

De första värdena av taufunktionen ges i följande tabell Mall:OEIS:

$n$	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16
$\tau (n)$	1	−24	252	−1472	4830	−6048	−16744	84480	−113643	−115920	534612	−370944	−577738	401856	1217160	987136

Ramanujans förmodanden

Ramanujan (1916) observerade, men kunde inte bevisa, följande egenskaper av taufunktionen:

• $\tau (mn)=\tau (m)\tau (n)$ om $sgd(m,n)=1$ (det vill säga $\tau (n)$ är en multiplikativ funktion)
• $\tau (p^{r+1})=\tau (p)\tau (p^r)-p^{11}\tau (p^{r-1})$ för primtal $p$ och $r>0$.
• $|\tau (p)|\le 2p^{11/2}$ för alla primtal $p$.

De första två egenskaperna bevisades av Louis J. Mordell (1917) och den tredje, kallad för Ramanujan-Peterssons förmodan, bevisades 1974 av Pierre Deligne.

Kongruenser för taufunktionen

För $k\in \mathbb{Z}$ och $n\in {\mathbb{Z}}_{>0}$, definiera ${\sigma }_k(n)$ som summan av $k$:te potenserna av delarna av $n$. Taufunktion uppfyller flera kongruensrelationer, många av dem kan uttryckas i termer av ${\sigma }_k(n)$. Då gäller följande kongruenser:Mall:Förtydliga

1. $\tau (n)\equiv {\sigma }_{11}(n)mod{2}^{11}\text{ för }n\equiv 1mod8$
2. $\tau (n)\equiv 1217{\sigma }_{11}(n)mod{2}^{13}\text{ för }n\equiv 3mod8$
3. $\tau (n)\equiv 1537{\sigma }_{11}(n)mod{2}^{12}\text{ för }n\equiv 5mod8$
4. $\tau (n)\equiv 705{\sigma }_{11}(n)mod{2}^{14}\text{ för }n\equiv 7mod8$
5. $\tau (n)\equiv n^{-610}{\sigma }_{1231}(n)mod{3}^6\text{ för }n\equiv 1mod3$
6. $\tau (n)\equiv n^{-610}{\sigma }_{1231}(n)mod{3}^7\text{ för }n\equiv 2mod3$
7. $\tau (n)\equiv n^{-30}{\sigma }_{71}(n)mod{5}^3\text{ för }n\equiv ̸0mod5$
8. $\tau (n)\equiv n{\sigma }_9(n)mod7\text{ för }n\equiv 0,1,2,4mod7$
9. $\tau (n)\equiv n{\sigma }_9(n)mod{7}^2\text{ för }n\equiv 3,5,6mod7$
10. $\tau (n)\equiv {\sigma }_{11}(n)mod691.$

För $p\ne 23$ primtal gäller:

11. $\tau (p)\equiv 0mod23\text{ om }\left(\frac{p}{23}\right)=-1$
12. $\tau (p)\equiv {\sigma }_{11}(p)mod23^2\text{ om }p\text{ är av formen }{a}^2+23b^2$
13. $\tau (p)\equiv -1mod23\text{ annars}.$

Förmodanden om τ(n)

Anta att $f$ är en heltalsnyform av vikt $k$ och att dess Fourierkoefficienter $a(n)$ är heltal. Betrakta följande problem: om $f$ saknar komplex multiplikation, bevisa att $a(p)\ne 0modp$ gäller för alla $p$. De flesta primtalen borde ha denna egenskap, och sådana primtal kallas ordinära. Även om Deligne och Serre har gjort stora framsteg inom teorin av Galoisrepresentationer, som bestämmer $a(n)modp$ för $n$ och $p$ relativt prima, vet vi inte hur man skall räkna $a(p)modp$. Den enda satsen av denna sort som bevisats är Elkies berömda resultat för modulära elliptiska kurvor som garanterar att det finns oändligt många primtal $p$ så att $a(p)=0$, av vilket $0modp$ följer. Man känner inte till exempel av icke-KM $f$ med vikt $>2$ med $a(p)\ne 0$ mod $p$ för oändligt många primtal $p$ (även om det borde gälla för nästan alla $p$). Man känner inte heller till exempel där $a(p)=0$ mod $p$ för oändligt många $p$.

Lehmer (1947) förmodade att $\tau (n)\ne 0$ för alla $n$, vilket har senare blivit känt som Lehmers förmodan. Lehmer kontrollerade att den gäller för $n<214928639999$. Bosman (2007) har bevisat att förmodan gäller för alla $n<22798241520242687999$.

Referenser

• Mall:Enwp

Noter

Källor

• Mall:Citation
• Mall:Citation
• Mall:Citation
• Mall:Citation
• Mall:Citation
• Mall:Citation
• Mall:Citation
• Mall:Citation
• Mall:Citation
• Mall:Citation
• Mall:Citation