Lambertserie

En Lambertserie, uppkallat Johann Heinrich Lambert, är en serie av formen

$S(q)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n\frac{q^n}{1-q^n}.$

Den kan skrivas som serien

$S(q)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{q}^{nk}=\sum _{m=1}^{\mathrm{\infty }}{b}_m{q}^m$

där koefficienterna är Dirichletfaltningen av a_n med konstanta funktionen 1(n) = 1:

$b_m=(a*1)(m)=\sum _{n\mid m}{a}_n.$

Exempel

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{q}^n{\sigma }_0(n)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{q^n}{1-q^n}$

och mer allmänt

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{q}^n{\sigma }_{\alpha }(n)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{n^{\alpha }{q}^n}{1-q^n}$

där $\alpha$ är ett godtyckligt komplext tal och

${\sigma }_{\alpha }(n)=({\text{Id}}_{\alpha }*1)(n)=\sum _{d\mid n}{d}^{\alpha }$

är sigmafunktionen.

Andra Lambertserier som innehåller aritmetiska funktioner är:

Möbiusfunktionen $\mu (n)$:

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\mu (n)\frac{q^n}{1-q^n}=q.$

Eulers fi-funktion $\varphi (n)$:

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\phi (n)\frac{q^n}{1-q^n}=\frac{q}{(1-q{)}^2}.$

Liouvilles lambda-funktion $\lambda (n)$:

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\lambda (n)\frac{q^n}{1-q^n}=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{q}^{n^2}.$

Alternativ form

Genom att sätta $q=e^{-z}$ får man en annan form av serien:

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{a_n}{e^{zn}-1}=\sum _{m=1}^{\mathrm{\infty }}{b}_m{e}^{-mz}$

där

$b_m=(a*1)(m)=\sum _{d\mid m}{a}_d.$

Källor

• Mall:Enwp