Vridningsinvariant mått

Ett vridningsinvariant mått är inom matematiken ett mått i ortogonalgruppen.

Formell definition

Ortogonalgruppen O(n) är en lokalt kompakt topologisk grupp, så det finns ett unikt Haarmått ${\theta }_n$ i O(n):

${\theta }_n:\text{Bor}O(n)\to [0,\mathrm{\infty }],$

där $\text{Bor}O(n)$ är Borelalgebran i O(n). Det här mått kallas för ett vridningsinvariant mått.

Exempel

Namnet vridning har en intuitiv förklaring: Om n = 2 så är ortogonalgruppen O(2) mängden av alla vridningar och reflektioner i ${ℝ}^2$ (se ortogonalmatris). Så att man kan identifiera det vridningsinvariant måttet ${\theta }_2$ som det utan konstant 1-dimensionella Hausdorffmåttet, dvs längdmåttet, i sfären $S^1$.

Egenskaper

Det finns ett samband mellan Hausdorffmåttet och vridningsinvarianta måttet. Låt $x\in {ℝ}^n$ och ${\mathrm{{\rm Y}}}_x:O(n)\to {ℝ}^n$,

${\mathrm{{\rm Y}}}_x(g):=g(x)$,

för $g\in O(n)$. Så att ${\mathrm{{\rm Y}}}_x$ är en ${\theta }_n$-mätbar funktion och

${\mathrm{{\rm Y}}}_{x\mathrm{\#}}{\theta }_n(A)={\mathscr{H}}^{n-1}(A),$

för $A\subset S^{n-1}$ och ${\mathrm{{\rm Y}}}_{x\mathrm{\#}}{\theta }_n$ är ${\theta }_n$ bildmåttet med avseende på ${\mathrm{{\rm Y}}}_x$. $S^{n-1}$ är den n-dimensionella sfären.

Se även

• Ortogonalgrupp
• Grassmannmångfald
• Grassmannmått