Sannolikhetsrum

Ett sannolikhetsrum är inom sannolikhetsteori ett begrepp som samlar ihop begreppen utfall, händelse och sannolikhet. Sannolikhetsrum definierades av Andrej Kolmogorov under 1930-talet.

Definition

Låt $\mathrm{\Omega }$ vara en icke-tom mängd och $ℱ$ en sigma-algebra i $\mathrm{\Omega }$. En funktion $\mathbb{P}:ℱ⟶[0,1]$ är ett sannolikhetsmått eller sannolikhet på sigma-algebran $ℱ$ om den besitter de två egenskaperna:

• Funktionen $\mathbb{P}$ är ett mått
• $\mathbb{P}(\mathrm{\Omega })=1.$

Ett sannolikhetsrum är en trippel $(\mathrm{\Omega },ℱ,\mathbb{P})$. $\mathrm{\Omega }$ är utfallsrummet och elementen i sigma-algebran kallas händelser.

Notera att ett sannolikhetsmått är en reellvärd mängdfunktion, eftersom den avbildar en mängd, $A\subseteq \mathrm{\Omega }$, på ett reellt tal, $\mathbb{P}(A)$ (sannolikheten för händelsen A).

Två händelser A och B kallas för varandras komplementhändelser om de är disjunkta och deras union är hela utfallsrummet.

Tillämpningar

Sannolikhetsrum är en effektiv struktur för att beskriva många praktiska sannolikhetsproblemen.

Klassiska sannolikhetsrum

Huvudartikel: Klassisk sannolikhetsdefinition

Man kan beskriva den klassiska sannolikhetsdefinitionen med ett sannoklikhetsrum. Då blir utfallsrummet

$\mathrm{\Omega }=\{{\omega }_1,{\omega }_2,...,{\omega }_n\},$

där $n\in \mathbb{N}$ och sannolikhetsmåttet är $\mathbb{P}:𝒫(\mathrm{\Omega })⟶[0,1]$,

$\mathbb{P}(A)=\frac{|A|}{n},$

där $|A|$ är kardinaliteten för mängden A.

Geometriska sannolikhetrum

Huvudartikel: Geometrisk sannolikhetsdefinition

Om $(X,ℱ,\mu )$ är ett måttrum där $\mu (X)<\mathrm{\infty }$ kan man definiera ett sannolikhetsmått ${\mathbb{P}}_{\mu }:ℱ⟶[0,1]$,

${\mathbb{P}}_{\mu }(A):=\frac{\mu (A)}{\mu (X)}.$

Det geometriska sannolikhetsrummet för måttet $\mu$ är en trippel $(X,ℱ,{\mathbb{P}}_{\mu })$.

Ofta använder man 1-, 2- eller 3-dimensionella Lebesguemåttet i mängden.

Om $|X|<\mathrm{\infty }$, $ℱ=𝒫(X)$ och $\mu =|\cdot |$ (kardinalitet som är ett mått), så är den geometriska sannolikheten samma som klassiska sannolikheten.

Sannolikhetsfördelningrum

Huvudartikel: Sannolikhetsfördelning

Man kan beskriva sannolikhetsfördelningar med ett sannoklikhetsrum. Låt $(\mathrm{\Omega },ℱ,\mathbb{P})$ vara ett sannolikhetsrum och $X:\mathrm{\Omega }⟶ℝ$ en stokastisk variabel. Sannolikhetsfördelningrummet för X är

$(ℝ,\text{Bor}ℝ,{\mathbb{P}}_X),$

där

${\mathbb{P}}_X:=X_{\mathrm{\#}}\mathbb{P},$

dvs utfallsrummet är reella talen, händelserna är Borelmängder och sannolikhetsmåttet är $\mathbb{P}$:s bildmått $X_{\mathrm{\#}}\mathbb{P}$ med avseende på X och kallas X:s sannolikhetsfördelning.

Förteckningar

Bara med måtteoretiska definitioner man kan definiera många naturlig förteckningar inom sannolikhetsteori.

Stokastisk variabel

Huvudartikel: Stokastisk variabel

En stokastisk variabel är en mätbar funktion med avseende på sannolikhetmåttet.

Mer precist, låt $(\mathrm{\Omega },ℱ,\mathbb{P})$ vara ett sannolikhetsrum. En funktion $X:\mathrm{\Omega }⟶ℝ$ är en stokastisk variabel om

$X^{-1}(B)\in ℱ$ för alla Borelmängder $B\in \text{Bor}ℝ.$

Detta innebär att en funktion $X$ är $ℱ$-mätbara.

Väntevärde

Huvudartikel: Väntevärde

Väntevärde för en stokastisk variabel är en måttintegral med avseende på sannolikhetmåttet.

Mer precist, om låt $(\mathrm{\Omega },ℱ,\mathbb{P})$ vara ett sannolikhetsrum. Om $X:\mathrm{\Omega }⟶ℝ$ är en stokastisk variabel så är en väntevärde för X ett tal

$𝔼(X):=\underset{\mathrm{\Omega }}{\int }Xd\mathbb{P}$.

Här är $\int d\mathbb{P}$ en måttintegral med avseende på måttet $\mathbb{P}$.

Varians och kovarians

Huvudartiklar: Varians och kovarians

Man kan definiera en varians och en kovarians om man vet väntevärdet.

Variansen för ett stokastisk variabel $X:\mathrm{\Omega }⟶ℝ$, med $𝔼(X^2)<\mathrm{\infty }$, är talet

${𝔻}^2(X):=𝔼(X-𝔼(X){)}^2$,

och kovarians mellan två stokastiska variabeler $X,Y:\mathrm{\Omega }⟶ℝ$ är ett tal

$\text{Cov}(X,Y):=𝔼[(X-𝔼(X))(Y-𝔼(Y))]$.

Konvergenssatser

Eftersom sannolikhetsmåttet är ett mått och stokastiska variabeler är mätbara får man alla konvergenssatser också för sannolikhetsrummet.

Händelsekonvergenssatsen:

• Om $A_1\subseteq A_2\subseteq A_3\subseteq ...$ är händelser så är

$\mathbb{P}\left(\bigcup _{i=1}^{\mathrm{\infty }}{A}_i\right)=\underset{i\to \mathrm{\infty }}{\lim }\mathbb{P}(A_i)$.

• Om $B_1\supseteq B_2\supseteq B_3\supseteq ...$ är händelser så är

$\mathbb{P}\left(\bigcap _{i=1}^{\mathrm{\infty }}{B}_i\right)=\underset{i\to \mathrm{\infty }}{\lim }\mathbb{P}(B_i)$.

Fatous lemma: om $(X_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ är stokastiska variabler får man att

$𝔼(\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; inf}}{X}_n)\le \underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; inf}}𝔼(X_n).$

Monotona konvergenssatsen: om $(X_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ är stokastiska variabler med $\mathbb{P}(\{X_1\le X_2\le ...\})=1$ finns det $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }𝔼(X_n)$ och

$𝔼(\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{X}_n)=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }𝔼(X_n).$

Dominerade konvergenssatsen: om $(X_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ och $X$ är stokastiska variabler med $\mathbb{P}(\{|X_n|\le X\})=1$ för alla $n\in \mathbb{N}$ och $𝔼(X)<\mathrm{\infty }$ finns det $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }𝔼(X_n)$ och

$𝔼(\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{X}_n)=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }𝔼(X_n).$

Se även

• Måtteori